Différence entre la sémantique opérationnelle à petite et à grande étape

Quelle est la différence fondamentale entre la sémantique opérationnelle à petite et à grande étape?

J'ai du mal à comprendre ce que c'est et la motivation pour avoir les deux.

La sémantique à petits pas définit une méthode pour évaluer les expressions une étape de calcul à la fois. Formellement parlant, une sémantique à petits pas pour un langage d'expression $E$ est une relation $\rightarrow : E \times E$ appelée relation de réduction . La sémantique à petits pas décrit en détail ce qui arrive à une expression. Il est capable de rendre compte avec précision même des programmes sans terminaison, avec une chaîne infinie $e_0 \to e_1 \to e_2 \to \dots$ . Un programme de fin est un programme tel que $e_0 \to e_1 \to \dots \to v$se termine par une valeur $v$ telle que $\forall e' \in E, v \not\rightarrow e'$ . $\newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]}$

À l'autre extrémité du spectre se trouve la sémantique dénotationnelle . La sémantique dénotationnelle attribue un «sens» à chaque expression. C'est une fonction des expressions aux dénotations: ( est appelé le domaine). L'espace des dénotations peut être complètement indépendant de l'espace syntaxique, par exemple pourrait être des expressions évaluées à un nombre et pourrait être un ensemble de nombres comme ou .D E D N $\llbracket \cdot \rrbracket : E \to D$$D$$E$$D$$\mathbb{N}$$\mathbb{R}$

La sémantique à grands pas est un peu au milieu. Une sémantique grands pas sur un langage d'expression et un ensemble de valeurs est une relation . Il relie une expression à sa valeur (éventuellement plusieurs valeurs si le langage n'est pas déterministe). Souvent, une valeur spéciale est utilisée pour les expressions sans terminaison.V ⇓ : E × V $E$$V$$\Downarrow : E \times V$$\bot$

Alors pourquoi avons-nous ces trois notions? Toutes ces notions peuvent se modéliser, mais le modèle ajoute un certain degré de complexité.

• Étant donné une sémantique à petits pas , vous pouvez définir une sémantique à grands pas correspondante qui relie chaque expression à sa valeur (ou valeurs, si la réduction n'est pas déterministe): existe une chaîne et ne peut pas réduire davantage. Notez qu'en général, vous ne pouvez pas reconstruire la sémantique à petits pas à partir de la sémantique à grands pas. Par exemple, toutes les expressions sans terminaison ne peuvent pas être distinguées sous la sémantique à grand pas.e ⇓ v e → e 1 → ⋯ → v $\to$$e \Downarrow v$$e \to e_1 \to \dots \to v$$v$
• Étant donné une sémantique grands pas , vous pouvez dire que c'est une sémantique petite étape sur . Ce n'est pas particulièrement utile.E ∪ $\Downarrow : E \times V$$E \cup V$
• Étant donné une sémantique à petits pas , vous pouvez définir une sémantique dénotationnelle correspondante où la dénotation d'une expression est l'ensemble des chaînes de réduction à partir de celle-ci. Cela satisfait la définition formelle, mais ce n'est pas particulièrement utile, car cela ajoute une surcharge théorique d'ensemble aux objets qui sont plus faciles à raisonner en regardant directement la syntaxe.$\to$
• Étant donné une sémantique dénotationnelle , vous pouvez définir une sémantique à petits pas en ajoutant toutes les dénotations possibles en tant que valeurs dans le langage. Cela nécessite de créer des valeurs qui ne font pas partie de la syntaxe que le programmeur peut écrire, ce qui signifie que certains résultats intéressants doivent indiquer «pour tous les programmes que le programmeur peut écrire» plutôt que «pour tous les programmes». Celui-ci n'est donc pas très utile non plus.$\llbracket \cdot \rrbracket$
• Étant donné une sémantique à grand pas , vous pouvez définir une sémantique dénotationnelle correspondante où le domaine est l'ensemble d'ensembles de valeurs: $\Downarrow$ . Si la sémantique à grands pas est déterministe (chaque expression se réduit à une seule valeur), vous pouvez définir une sémantique dénotationnelle plus simple où le domaine est l'ensemble de valeurs.$\llbracket e \rrbracket = \{v \mid e \Downarrow v\}$
• Inversement, étant donné une sémantique dénotationnelle , vous pouvez définir une sémantique à grand pas E ⇓ $\llbracket \cdot \rrbracket$ . Encore une fois, celui-ci est un peu inutile.$E \Downarrow \llbracket \cdot \rrbracket$

Du point de vue opérationnel, la sémantique à petits pas correspond à regarder chaque opération effectuée par un interprète de la langue. La sémantique à grands pas ne regarde que la valeur résultante. La sémantique dénotationnelle examine une interprétation mathématique qui peut ou non avoir quelque chose à voir avec ce qui se passe sur un ordinateur.

La sémantique à petits pas est la plus évidente. Il fournit clairement des informations utiles sur les programmes non terminés. Plus généralement, il fournit des informations détaillées sur le comportement du programme.

La sémantique dénotationnelle transforme les constructions syntaxiques en objets mathématiques arbitraires; il peut exprimer tout ce que les scientifiques veulent (vous pouvez définir la dénotation d'une expression comme étant toutes les chaînes de réduction possibles), mais au prix d'ajouter un niveau de complexité. Il est utilisé lorsque nous voulons faire abstraction de certains détails tels que la façon exacte dont l'expression est évaluée.

La sémantique à grands pas est au milieu: elle résume les détails de l'évaluation mais conserve la nature syntaxique du résultat. Habituellement, le concept est utilisé lorsqu'il existe une sémantique sous-jacente à petits pas, comme un moyen d'exprimer de manière concise « »Comme« e ⇓ e $\exists (e_1, \dots, e_n), e \to e_1 \to \dots e_n \text{ and } \not\exists e', e_n \to e'$$e \Downarrow e_n$". Dans de telles constructions, alors que les concepts sont très différents (l'un nous permet de parler des étapes de calcul individuelles et des programmes non terminés, l'autre pas), les définitions seront très similaires, car dans ce cas les règles qui définissent le la sémantique à grands pas est fondamentalement de la forme «si et… et e n → ∗ v et v est une valeur alors e 1 ⇓ v ».$e_1 \to^* e_2$$e_n \to^* v$$v$$e_1 \Downarrow v$