Problèmes ouverts faciles à énoncer dans la théorie de la calculabilité

Je cherchais des problèmes ouverts intéressants et faciles à énoncer en calculabilité (compréhensibles par les étudiants de premier cycle prenant leur premier cours en calculabilité) pour donner des exemples de problèmes ouverts (et, évidemment, je veux que les étudiants puissent comprendre le problème sans avoir besoin de trop de nouvelles définitions et être intéressant pour eux).

J'ai trouvé cette liste, mais les problèmes semblent trop compliqués pour les étudiants de premier cycle et il faudra consacrer beaucoup de temps à donner des définitions avant d'énoncer le problème. Le seul problème que j'ai trouvé jusqu'à présent est

Le problème diophantien sur les nombres rationnels est-il décidable?

Connaissez-vous un autre problème ouvert intéressant et facile à énoncer dans la théorie de la calculabilité?

computability

— Kaveh
source

Quelle quantité / sorte de connaissances préalables pouvons-nous supposer, par exemple concernant les automates, les langages formels, les algorithmes?

— Raphael

@Raphael, vous pouvez assumer la connaissance de la théorie de base de la calculabilité, par exemple, ils savent ce qui est couvert dans la partie calculabilité du livre de Sipser "Introduction à la théorie du calcul".

— Kaveh

la théorie de la calculabilité est plus abstraite que la théorie de la complexité, par exemple pour les étudiants de premier cycle. n'ont pas entendu parler de classes entières de premier cycle pour la théorie de calculabilité. que couvrez-vous? avez-vous un programme en ligne ou est-il similaire à un autre en ligne? il pourrait être utile de passer en revue l'histoire du 10ème problème de Hilberts qui est resté ouvert pendant la majeure partie du 20ème siècle et est l'un des "grands" problèmes dans le domaine. certains disent avec une justification réelle que c'est l'un des plus importants du 20e siècle.

— vzn

$(D, \leq_T)$ $f\colon D \to D$ $a \leq_T b$ $f(a) \leq_T f(b)$

— Carl Mummert
source

En quoi ce problème est-il intéressant pour l'étudiant moyen de premier cycle? Y a-t-il une conséquence connue qui peut être dérivée de l'existence d'un tel automorphisme? Je pense que la motivation est primordiale lors de l'introduction de nouveaux concepts, surtout si c'est uniquement pour montrer aux étudiants un "fameux problème ouvert".

— Janoma

@Janoma: la motivation est d'étudier (et de comprendre) la structure globale des diplômes de Turing. Il serait facile d'énoncer sans preuve quelques résultats tels que la densité, et de mentionner cela comme un problème ouvert facile à énoncer mais difficile à résoudre.

— Carl Mummert