Dans quel sens l'ensemble de Mandelbrot est-il «calculable»?

L' ensemble Mandelbrot est une belle créature en mathématiques.

Il y a beaucoup de belles images de cet ensemble créées avec une grande précision, donc évidemment cet ensemble est "calculable" dans un certain sens.

Cependant, ce qui m'inquiète, c'est qu'il n'est même pas récursivement énumérable - simplement parce que l'ensemble est indénombrable. Cela pourrait être résolu en exigeant une sorte de représentation finie des points.

De plus, bien que nous sachions avec certitude que beaucoup de points appartiennent à l'ensemble et que d'autres ne le font pas, il y a aussi beaucoup de points dont nous ne connaissons pas l'appartenance à l'ensemble. Toutes les images que nous avons vues jusqu'à présent peuvent inclure un grand nombre de points qui "jusqu'à n itérations maintenues liées", mais ces points peuvent ne pas réellement appartenir à l'ensemble.

Ainsi, pour un point donné avec une présentation finie, le problème "Ce point appartient-il à l'ensemble?" n'a pas encore été prouvé décidable, si j'ai raison.

Maintenant, dans quel sens (par quelle définition) peut-on dire que l'ensemble de Mandelbrot est "calculable"?

computability

— Earth Engine
source

"Cependant, ce qui m'inquiète, c'est le fait qu'il n'est même pas récursivement énumérable - simplement parce que l'ensemble est indénombrable." - cela ne devrait probablement pas vous préoccuper. Après tout, des tonnes d'ensembles de points très simples dans sont innombrables. , par exemple.

R^{2}

$\mathbb R^2$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— user2357112 prend en charge Monica

Réponses:

Il existe plusieurs façons de définir ce que signifie que l'ensemble Mandelbrot soit calculable. Une définition possible est le modèle Blum – Shub – Smale. Dans ce modèle, le calcul réel est modélisé par une machine similaire à une machine RAM, dont l'accès aux nombres réels est limité à l'arithmétique de base et aux comparaisons. Blum et Smale ont montré que l'ensemble de Mandelbrot n'est pas calculable dans ce modèle, bien que son complément puisse être énuméré récursivement en utilisant l'algorithme traditionnel utilisé pour les dessiner.

Un autre modèle est l' analyse calculable , dans laquelle l'ensemble de Mandelbrot est probablement calculable, comme le montre Hertling (conditionnel à une conjecture largement admise, la conjecture d'hyperbolicité). Dans ce modèle, calculer l'ensemble de Mandelbrot signifie être capable de calculer une approximation de l'ensemble de Mandelbrot, avec la précision souhaitée (pour la définition exacte, voir la référence sur l'analyse calculable).

Pourquoi, alors, l’ordinateur semble-t-il pouvoir dessiner l’ensemble de Mandelbrot? La principale difficulté pour montrer que l'algorithme traditionnel fonctionne est qu'il est difficile de dire à l'avance combien d'itérations à exécuter avant de décider que le point appartient à l'ensemble. Hertling montre que si la conjecture d'hyperbolicité largement admise tient, alors il y a une telle limite raisonnable. Vraisemblablement, les programmes attendent simplement assez longtemps; ou ils n'attendent pas assez longtemps, mais ne se trompent qu'une petite fraction des points.

— Yuval Filmus
source

R

$R$

Fondamentalement, l'ensemble Mandelbrot n'est pas calculable (à notre connaissance). Le fait que vous voyez des images ne signifie pas qu'elles sont calculables. Ces images calculent en utilisant une approximation: si le processus s'exécute plus longtemps qu'un seuil défini, comme une heuristique, le code suppose qu'il ne se terminera jamais. Cette heuristique peut être erronée et, par conséquent, ces images peuvent ne pas être exactes à 100%. En d'autres termes, ces images ne sont pas une image de "l'ensemble" de Mandelbrot; ils sont d'une approximation de l'ensemble de Mandelbrot.

— DW
source

Le fait que nous ne calculions que des approximations n'est pas le problème, je pense. Le problème serait davantage de savoir si ces approximations convergent vers une certaine limite qu'est l'ensemble de Mandelbrot si vous augmentez le temps de calcul. Vous ai-je mal compris?

— babou

@babou, pourquoi serait-ce le problème? Je peux vous donner un algorithme qui est une approximation du problème Halting, c'est-à-dire qu'il converge dans la limite vers la bonne solution au problème Halting - mais ce n'est pas suffisant pour que nous considérions le problème Halting comme calculable. Je ne pense pas que vous me compreniez mal.

— DW

Je dois être confus quelque part. J'avais l'impression que les objets infinis peuvent être considérés comme calculables s'ils sont la limite d'une séquence infinie d'objets calculables, avec des conditions spécifiques sur la manière dont la convergence vers la limite doit se comporter. Il semble y avoir un trou dans ma compréhension.

— babou

@babou, OK. Je ne doute pas de votre mémoire / compréhension. Je n'avais pas entendu parler de cette notion de calculabilité, mais je vous crois.

— DW

Tout d'abord, vous devez toujours douter de ma mémoire / compréhension. Une grande partie de ce qui est discuté ici n'est pas dans mon domaine d'expertise. En fait, ma compréhension repose sur le peu que je lis sur le réel calculable, que j'ai compris comme étant calculable avec toute la précision requise de manière uniforme. Ensuite, il y a ma compréhension sémantique plus ancienne des structures infinies comme limites des structures finies dans des ensembles partiellement ordonnés, bien que je ne sois pas sûr de la façon dont les deux sont connectés.

— babou