Les arbres AVL ne sont pas équilibrés en poids?

Dans une question précédente, il y avait une définition des arbres à poids équilibré et une question concernant les arbres rouge-noir.

Cette question est de poser la même question, mais pour les arbres AVL .

La question est, étant donné la définition d' arbres à $\mu$ équilibré comme dans l'autre question,

Y a-t-il quelques $\mu \gt 0$ tels que tous les arbres AVL suffisamment grands sont équilibrés?$\mu$

Je suppose qu'il n'y a qu'une seule définition des arbres AVL et qu'il n'y a aucune ambiguïté.

Allégation : non, il n'y a pas de $\mu$ .

Preuve : Nous donnons une séquence infinie d'arbres AVL de taille croissante dont la valeur d'équilibre pondéral tend vers $0$ , ce qui contredit l'affirmation.

Soit l'arbre complet de hauteur h ; il a 2 h + 1 - 1 nœuds.$C_h$$h$$2^{h+1}-1$

Soit l' arbre de Fibonacci de hauteur h ; il a F h + 2 - 1 nœuds. [ 1 , 2 , TAoCP 3 ]$S_h$$h$$F_{h+2} - 1$

Soit maintenant avec T h = N ( S h , C h ) la séquence d'arbres que nous prétendons être un contre-exemple.$(T_h)_{i\geq 1}$$T_h = N(S_h,C_h)$

Considérons la valeur d'équilibrage de la racine de pour un certain h ∈ N + :$T_h$$h \in \mathbb{N}_+$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \frac{F_{h+2}}{2^{h+1} + F_{h+2} - 1} &= \frac{1}{1 + \frac{2^{h+1}}{F_{h+2}} - \frac{1}{F_{h+2}{}}} \\ &\sim \frac{F_{h+2}}{2^{h+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{h+2} - \hat{\phi}^{h+2})}{2^{h+1}} \\ &\sim \frac{\phi^{h+2}}{\sqrt{5}\cdot 2^{h+1}} \underset{h \to \infty}{\to} 0 \end{align*}$

Ceci conclut la preuve.

Notation :

• est le n èmenombre de Fibonacci$F_n$$n$
• est lenombreor, & phiv ≈ - 0,62 son conjugué.$\phi \approx 1.6$$\hat{\phi} \approx -0.62$
• signifie que f et g sont asymptotiquement égaux, c'est-à-dire lim n → ∞ f ( n $f \sim g$$f$$g$.$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

Nota bene : Les arbres de Fibonacci sont exactement les arbres AVL avec le moins de nœuds pour une hauteur donnée (ou, de manière équivalente, la hauteur maximale pour un nombre donné de nœuds).

$h$$h-1$$h-2$

^{[ source ]}

$f(h)$$h$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(2) &= 2 \\ f(h) &= f(h-1) + f(h-2) + 1 \qquad n \geq 3 \end{align*}$

$f(h) = F_{h+2} - 1$

La même preuve est donnée (avec moins de détails) dans les arbres de recherche binaires d'équilibre borné par Nievergelt et Reingold (1972).