L'exercice 4.29 du calcul quantique et des informations quantiques de Nielsen et Chuang m'a déconcerté.

Trouver un circuit contenant Toffoli, CNOT et des portes à qubit unique qui implémente une porte (pour ), en utilisant aucun qubits de travail.$O(n^2)$$C^n(X)$$n > 3$

J'ai compris que cela ne pouvait pas se faire de façon classique .

J'ai compris comment le faire avec des portes exponentiellement précises (imbrique la construction à double contrôle à partir de contrôles simples et racine carrée d'opération en lui même fois).$O(2^n)$$n-2$

J'ai essayé de généraliser la construction ci-dessus en accumulant une combinaison linéaire d'opérations contrôlées. Par exemple, si j'ai 3 contrôles appelés A et B et C et que je fais un vecteur des différents cas [0, A, B, C, AB, BC, AC, ABC] alors:

• L'application inconditionnelle d'une opération ajoute [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
• Le contrôle d'une opération sur A ajoute [0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1]
• Xoring A dans C puis contrôler une opération sur C (puis annuler le xor) ajouterait [0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0]
• Xoring (A et B) en C via une porte toffoli puis contrôler une opération sur C ajouterait [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0]

Ensuite, j'essayerais d'ajouter (appliquer une racine de X) et de soustraire (appliquer la racine carrée inverse) les différents vecteurs que je peux faire jusqu'à ce que le résultat soit [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, N] .

Mais je continue de frapper divers murs, tels que des solutions se retrouvant avec de grands multiples (c'est-à-dire que les portes que j'utilise deviennent exponentiellement précises, ce qui, je pense, est un non-non) ou tout simplement ne pas pouvoir résoudre le système en raison de l'interaction entre générer des éléments avec AND / XOR puis résoudre avec + / * étant non standard ou créer des nombres exponentiels de portes.

Quelles sont les autres approches à essayer?

Finalement, j'ai fini par résoudre ce problème pour les portes . J'ai écrit une trilogie de billets de blog dessus.$O(n)$

1. Construire de grandes notations contrôlées (classiquement, avec une ancilla)

2. Construire de grands incréments (classiquement, avec une ancilla)

3. Utiliser les portes quantiques au lieu des bits Ancilla

Bien sûr, ce serait nul si vous trouviez cela dans vingt ans et que mon site Web avait disparu depuis longtemps, donc les étapes de base suivent sous une forme d'image rapidement décrite.

1. Bootstrap un bit Ancilla empruntable

Utilisez une racine carrée et son inverse pour réduire le nombre maximal de contrôles d'un, créant un fil non impliqué pour chaque opération. Ensuite, déplacez de manière itérative les commandes hors des opérations non-Not, et réorganisez la découpe qui se traduit par de grandes portes d'incrémentation et des portes de phase à qubit unique.

2. Utilisez un seul bit Ancilla pour réduire de moitié les opérations

Pour chaque grande opération, utilisez le fil non impliqué comme mèche ancilla empruntée. Utilisez-le pour transformer l'énorme incrément et les portes contrôlées en pas de petites opérations qui ont chacune environ la moitié des fils non impliqués. Répétez deux fois, si nécessaire, pour que l'étape suivante ait suffisamment d'espace de travail.

3. Utilisez de nombreux bits Ancilla pour terminer

Pour chaque opération encore trop importante, empruntez les nombreux fils non impliqués en tant que bits ancilla. Utilisez-les pour descendre jusqu'aux portes de Toffoli ou plus petites.

Ces trois étapes vous mèneront d'un portail entièrement contrôlé et non linéaire à de nombreuses portes Toffoli, CNOT et à qubit unique. Il y a quelques éléments implicites, comme la façon de fusionner un contrôle dans une porte d'incrémentation, mais ils sont assez simples.

(Désolé pour le style incohérent des diagrammes.)