Prouver la fermeture sous complémentation des langues acceptées par les automates à tas min

Il s'agit d'une question complémentaire à celle- ci .

Dans une question précédente sur les machines à états exotiques , Alex ten Brink et Raphael ont abordé les capacités de calcul d'une sorte particulière de machine à états: les automates à tas min. Ils ont pu montrer que l'ensemble des langages acceptés par de telles machines ( ) n'est ni un sous-ensemble ni un sur-ensemble de l'ensemble des langages sans contexte. Compte tenu du succès de la résolution de cette question et de son intérêt apparent, je pose plusieurs questions complémentaires.$HAL$

Il est connu que les langages réguliers sont fermés sous une variété d'opérations (nous pouvons nous limiter aux opérations de base telles que l'union, l'intersection, le complément, la différence, la concaténation, l'étoile de Kleene et l'inversion), tandis que les langages sans contexte ont une fermeture différente propriétés (celles-ci sont fermées sous l'union, la concaténation, l'étoile de Kleene et l'inversion).

HAL est-il fermé sous complémentation?

Revendication : n'est pas fermé contre complément.$\mathrm{HAL}$

Idée de preuve : nous avons convenu que (la langue des palindromes pairs sur un alphabet non unaire) n'est pas dans . Nous montrons que . Cela ne fonctionne que pour le type 1 (car le type 2 peut accepter ); la preuve peut cependant être adaptée au type 2, voir ci-dessous.$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$$\overline{\mathrm{EPAL}} \in \mathrm{HAL}$
$\mathrm{EPAL}$

Preuve : notez que

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \overline{\mathrm{EPAL}} &= \{vw : |v|=|w|, v\neq w^R\} \\ &\cup\ \,\{w : |w| \in 2\mathbb{N}\!+\!1\} \end{align*}$

Nous construisons un automate min-tas avec deux symboles de tas qui fonctionne comme ceci:$b < a$

• Dans l'état de départ, décidez de façon non déterminante si la longueur de l'entrée est paire.
• Sur le chemin inégal, utilisez le contrôle fini pour accepter l'entrée si et seulement si sa longueur est impaire.
• Sur le chemin pair, procédez comme : $$\underbrace{v_1\ \dots\ \mathbf{v_{i}}}_{+a}\ \underbrace{v_{i+1}\ \dots\ v_n}_{+b}\ \underbrace{w_n\ \dots\ w_{i+1}}_{-b}\ \underbrace{\mathbf{w_i}\ \dots\ w_1}_{-a}$$
  • Commencez par ajouter un à tas pour chaque symbole lu.$a$
  • À une position non déterminée de façon déterministe, stockez le symbole actuel sous contrôle fini et commencez à ajouter un (et aucun ) à stocker pour chaque symbole lu.$b$$a$
  • À une position non déterminée de façon déterministe, arrêtez d'ajouter des symboles et consommez un par symbole d'entrée.$b$
  • Lorsque tous les sont consommés, comparez le symbole actuel avec celui stocké dans le contrôle. S'ils sont inégaux, continuez; sinon rejeter l'entrée.$b$
  • Consommez un par symbole d'entrée. Si le tas est vide en même temps que l'entrée se termine, acceptez le mot; rejeter autrement.$a$

L'automate min-heap décrit accepte . Comme son complément, , n'est pas dans , nous avons prouvé la revendication.$\overline{\mathrm{EPAL}}$$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$

Remarque: La preuve peut être effectuée de la même manière avec (qui est dans ) et son complément. Cela s'étend au-dessus du résultat au type-2.$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL}$