Machine de Turing alphabet infini

Une machine de Turing autorisée à lire et à écrire des symboles d'un alphabet infini est-elle plus puissante qu'une MT régulière (c'est la seule différence, la machine a toujours un nombre fini d'états)?

L'intuition me dit que non, car il faut un nombre infini d'états pour différencier chaque symbole. Je pense donc que certains des symboles ou des transitions provoqués par les symboles (ou certains sous-ensembles des transitions) doivent être équivalents. Ainsi, vous pouvez réellement simuler une telle machine avec une MT régulière et un sous-ensemble borné de tels symboles ou transitions.

Comment pourrais-je approcher une preuve formelle de cela?

Non, ce serait plus puissant. La fonction de transition ne serait plus finie, ce qui vous achète beaucoup de puissance.

Avec un alphabet infini, vous pouvez encoder n'importe quel élément d'entrée d'un ensemble infini en un seul symbole (bien que l'ensemble d'entrée ne puisse pas être "plus infini" que l'ensemble d'alphabet, par exemple l'alphabet ne serait vraisemblablement que comptablement infini, donc les éléments de innombrables des ensembles comme les nombres réels ne pouvaient pas être représentés dans un seul symbole). Et de même pour la sortie.

Vous pouvez donc créer un TM-alphabet infini à deux états (un initial, un accepté) avec une seule transition qui passe à l'état d'acceptation et modifie le symbole sous la tête de bande conformément à la fonction que vous essayez de calculer. Cette recette vous permettrait de calculer n'importe quel mappage entre des ensembles qui peuvent être mis en correspondance un à un avec l'alphabet.

Donc, pour éviter que cette sorte de machine dégénérée soit la réponse à tout, vous devez restreindre ce que la fonction de transition peut faire. Une solution évidente serait d'exiger que la fonction de transition elle-même soit calculable (les fonctions de transition de la MT ordinaire sont après tout trivialement calculables, car elles sont finies). Mais alors vous essayez d'utiliser des fonctions calculables pour définir votre modèle de fonctions calculables.

La réponse ci-dessus est correcte, mais il y a un peu plus à dire sur les alphabets infinis et la calculabilité.

Une machine de Turing est décrite dans WP comme dans laquelle tous les ensembles sont finis. Ainsi la fonction de transition est nécessairement finie.$M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

$$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$$

Dans une machine à alphabet infini, nous remplacerions l'alphabet d'entrée par disons et donc l'alphabet de bande par et la fonction de transition par obéissant:$\Sigma$$\Sigma^{inf}$$\Gamma^{inf}$$\delta^{inf}$

$$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$$

Donc est nécessairement une fonction infinie. Comme indiqué si cette fonction doit être non calculable, alors ce qui précède n'est pas représentable de manière définitive. Supposons que nous conserverons (partiel) récursif si possible. La question est de savoir si l'alphabet le permettra toujours.$\delta^{inf}$$\delta^{inf}$

Le problème de base est qu'un alphabet fini est présenté dans son intégralité (afin que nous puissions choisir de définir nos fonctions de manière récursive), mais un alphabet infini ne peut jamais être présenté dans son intégralité. Alors, quel mécanisme génère l'alphabet?

La façon la plus simple d'envisager cela est d'imaginer qu'il existe un alphabet "noyau" fini, disons . Générez ensuite un langage . Supposons que la chaîne Abaab . Définissez ensuite . Ainsi, l'alphabet infini se compose d'ensembles de chaînes de concaténées en un seul symbole comme .$A=\{a,b\}$$L \subset A^*$ $\in L$$\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$$L$$<abaab>$

L'alphabet le plus simple est essentiellement <1 *> , la langue régulière dans laquelle deux symboles quelconques sont distingués en comptant le nombre de traits verticaux dans chaque symbole. Ce sera calculable avec un analyseur à états finis (en tant que LBA cependant, pas en tant qu'automates finis). Turing a plaidé pour un alphabet fini pour éviter toute apparence d'une opération non finie dans une opération TM. Cependant, il convient de noter que les 26 lettres de l'alphabet anglais ne suivent pas ce schéma de comptage: la lettre z ne contient pas 26 traits ou points ou quoi que ce soit. Ainsi, d'autres modèles sont possibles avec le modèle de calcul le plus général qui repose sur un (re) langage récursivement énumérable .$L$

Le problème ici est cependant que la construction de ne sera possible que si la définition de est explicitement fournie. Cela est dû en partie au fait que l'équivalence des réglages est indécidable et en partie parce que sinon nous n'avons qu'un échantillon fini avec lequel travailler et nous ne pouvons pas en déduireSi nous avons la définition de (et donc ) alors si est récursif dans alors est récursif dans A fini, et donc est absolument récursif et peut être récursif.$\delta^{inf}$$L$$L$$L$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$f$$f$$\delta^{inf}$

Enfin, nous considérons le cas où n'est pas re avec deux exemples:$L$

Exemple 1 . ssi diverge vraisemblablement. Dans ce cas, l'alphabet n'aura évidemment pas de description finie - au lieu de cela, il "grandira" au fil du temps (et ne sera entièrement défini lui-même que dans une certaine limite de calcul). Mais alors c'est un alphabet infini qui ne peut en aucun cas être présenté à la fois. Donc, si est récursif dans , alors f est dans - l'ensemble Halting. Donc ne peut pas être récursive. ϕ n ( n ) Γ i n f f Γ i n f Δ 0 2 δ i n $<n>\in \Gamma^{inf}$$\phi_{n}(n)$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$\Delta_2^0$$\delta^{inf}$

Exemple2 . Un exemple plus géométrique considère les carreaux de type Penrose . Soit le symbole si est une unité de N tuiles apériodiques qui peut de façon prouvable carreler l'avion. Cet alphabet est infini car on peut construire, pour tout N, une unité N-tuiles de tuiles Penrose. Cependant, le carrelage de l'avion lui-même est indécidable, de sorte que l'ensemble de S augmentera à mesure que davantage de tuiles comme celle-ci seront découvertes. Un récursif possible dans mais pas absolument récursif pourrait être f (S) = nombre de tuiles dans S. S f Γ i n $S\in\Gamma^{inf}$$S$$f$$\Gamma^{inf}$