Résolution de la relation de récurrence

Je veux prouver que la complexité temporelle d'un algorithme est polylogarithmique dans l'échelle d'entrée.

La relation de récurrence de cet algorithme est , où . $T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$ $a\in(0,1)$

Il semble que pour certains dépend de . Mais je ne peux pas prouver cette inégalité. Comment résoudre cette relation de récurrence? $T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ $\beta$ $a$

Je veux juste obtenir une polylogarithmique de borne supérieure dans n.

asymptotics recurrence-relation

— Qiang Li
source

a < 1

$a<1$ , je suppose? Avez-vous également vérifié notre question de référence ? Je ne pense pas que le cas spécifique dont vous parlez soit explicitement couvert, mais il existe de nombreuses techniques décrites.

— David Richerby

Il n'y a pas de théorème "maître" pour ce type à ma connaissance; cf ma question et celle-ci . (cc @DavidRicherby)

— Raphael

Votre supposition est fausse. En fait, il n'est pas difficile de montrer qu'en supposant pour tout , alors pour tout . En effet, pour que cela tienne, nous avons besoin que pour assez grand, nous aurions ou , qui dure aussi longtemps que , et en particulier pour assez grand . $T(n) > 0$ $n > 0$ $T(n) = \Omega(\log^k n)$ $k$ $n$

(1 + a^{k}) \log^{k} n = \log^{k} n + \log^{k} n^{a} \geq \log^{k} (2 n),

$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$

\sqrt[k]{1 + a^{k}} \log n \geq \log n + \log 2

$\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$

[\sqrt[k]{1 + a^{k}} - 1] \log n \geq \log 2

$[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$

n

$n$

Quel est l'ordre de croissance correct de ? Pour essayer de le savoir, écrivez . La récurrence devient alors Pour les grands , nous nous attendrions à ce que soit très proche de , et donc heuristiquement nous nous attendrions à ce que satisfasse . Cette équation semble un peu difficile à résoudre, mais une solution approximative est . En substituant en arrière, nous déduisons que l'ordre de croissance de devrait être quelque chose comme . $T(n)$ $S(n) = T(2^n)$

S (n + 1) = S (n) + S (a n) .

$S(n+1) = S(n) + S(an).$

n

$n$

S (n + 1) - S (n)

$S(n+1) - S(n)$

S^{'} (n)

$S'(n)$

S

$S$

S^{'} (n) = S (a n)

$S'(n) = S(an)$

S (n) = n^{Θ (\log n)}

$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$

T (n)

$T(n)$

(\log n)^{Θ (\log \log n)}

$(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$

— Yuval Filmus
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Il semble que . La limite inférieure ne tient pas.

\log^{k} (2 n) = (\log 2 + \log n)^{k}

$\log^k(2n) = (\log 2 + \log n)^k$

— Qiang Li

@QiangLi Merci d'avoir repéré l'erreur. Cependant, la limite inférieure est maintenue une fois que l'argument est convenablement modifié.

— Yuval Filmus