Facettes connues du polytope du problème du voyageur de commerce

Pour la méthode ramification-coupe, il est essentiel de connaître de nombreuses facettes des polytopes générés par le problème. Cependant, c'est actuellement l'un des problèmes les plus difficiles à calculer réellement toutes les facettes de ces polytopes à mesure qu'ils grandissent rapidement.

Pour un problème d'optimisation arbitraire, le polytope utilisé par les méthodes de branchement et de coupe ou également par les plans de coupe est la coque convexe de tous les sommets possibles. Un sommet est une affectation de toutes les variables du modèle. Comme exemple (très simple): si l'on maximisait $2\cdot x+y$ st $x+y \leq 1$ et $0\leq x,y\leq 1.5$ puis les sommets $(0,0)$ , $(0,1)$ et $(1,0)$ sont des sommets réalisables. $(1,1)$ viole l'inégalité $x+y\leq 1.5$ et n'est donc pas réalisable. Le problème d'optimisation (combinatoire) serait de choisir parmi les sommets possibles. (Dans ce cas, évidemment $(1,0)$ est l'optimum). La coque convexe de ces sommets est le triangle avec exactement ces trois sommets. Les facettes de ce polytope simple sont $x\geq0$ , $y\geq 0$ et $x+y\leq 1$ . Notez que la description par facettes est plus précise que le modèle. Dans la plupart des problèmes difficiles - tels que le TSP - le nombre de facettes dépasse le nombre d'inégalités du modèle de plusieurs ordres de grandeur.

Considérant le problème des vendeurs ambulants, pour quel nombre de nœuds le polytope est-il entièrement connu et combien de facettes sont là. s'il n'est pas complet, quelles sont les bornes inférieures du nombre de facettes?

Je suis particulièrement intéressé par la soi-disant formulation de chemin hamiltonien du TSP:

m je n \sum_{je = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{je - 1} c_{je, j} \cdot X_{je, j} + \sum_{j = je + 1}^{n - 1} c_{je, j} \cdot X_{je, j})

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$ st

\forall je \neq j : 0 \leq X_{je, j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall je \neq j X_{je, j} + X_{j, je} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j \sum_{je = 0}^{j - 1} X_{je, j} + \sum_{je = j + 1}^{n - 1} X_{je, j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j \sum_{je = 0}^{j - 1} X_{j, je} + \sum_{je = j + 1}^{n - 1} X_{j, je} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

\sum_{je = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{je - 1} X_{je, j} + \sum_{j = je + 1}^{n - 1} X_{je, j}) = n - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

Si vous avez des informations sur les polytopes d'autres formulations du TSP, n'hésitez pas à les partager également.

— Stefan
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Personnellement, je ne sais pas ce que signifie "polytopes d'un problème". Mais alors, j'ai peu d'expérience en théorie de la complexité.

— Raphael

Ce n'est pas en fait de la théorie de la complexité (ce n'était pas moi qui marquais cette balise). En fait, il n'y a pas encore de balise appropriée pour ce type de question. Une étiquette appropriée serait une méthode de branchement et de coupe ou de plan de coupe. Je vais ajouter quelques informations sur le polytope dont je parle sous peu

— Stefan

@Raphael: J'ai mis à jour la question, vous pouvez donc lire quelque chose sur les facettes et les polytopes.

— Stefan

@stean: Ah, c'est donc juste l'espace de solutions réalisables. Dans ce cas, la recherche de TSP est clairement de taille exponentielle; sinon nous avions eu P = NP il y a longtemps. De plus, le TSP est généralement défini sur des graphiques complets non orientés, il y a donc exactement

n!

$n!$ solutions réalisables. Je ne vois donc pas ce que vous cherchez d'autre; peut-être que je n'obtiens pas un détail important de votre question. Peut-être que vous avez écrit le LP détendu, pas l'IP?

— Raphael

@Raphael c'est la coque convexe des solutions réalisables. vous avez raison, à moins que P = NP, cette coque convexe aura de façon exponentielle de nombreuses facettes. cependant, le nombre de sommets n'a rien à voir avec cela: la coque convexe des vecteurs binaires

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$ est le cube booléen qui n'a que

2 n

$2n$ facettes. de plus, le fait d'avoir de nombreuses facettes exponentielles ne signifie pas non plus qu'il n'y a pas de polytope de dimension supérieure qui se projette sur celui donné. par exemple prendre la coque convexe des vecteurs de base standard, qui a

2^{n}

$2^n$ facettes, mais est la projection d'un petit programme linéaire.

— Sasho Nikolov

Réponses:

Pour les limites asymptotiques, Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwari et de Wolf ont récemment montré des limites inférieures exponentielles sur le nombre de facettes de tout polytope qui se projette vers le polytope TSP (le polytope TSP, étant la coque convexe des solutions TSP réalisables). C'est plus fort que ce que vous demandez et implique que même l'ajout de variables supplémentaires ne rendra pas le polytope TSP efficacement représentable.

Leur article fait suite à l'article classique de 1988 de Yannakakis, qui a montré le même résultat mais uniquement pour des polytopes qui satisfont à une certaine condition de symétrie.

— Sasho Nikolov
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Merci pour ce lien! C'est certainement un résultat impressionnant, même s'il aurait été étrange d'avoir un beau polytope (= croissance non exponentielle) pour un problème NP.

— Stefan

la partie surprenante est de pouvoir le prouver :)

— Sasho Nikolov

@stefan afaik un polytope à croissance polynomiale pour un problème NP impliquerait P = NP comme le dit raphael ci-dessus ... quelqu'un a-t-il également vu une déclaration / discussion sur ce qui serait nécessaire pour étendre Fiorini et al à une preuve P! = NP?

— vzn

la réponse courte est que le résultat concerne un modèle de calcul plus faible que les MT limitées par le temps, et vous aimeriez une version de celui-ci pour un modèle aussi fort que P. pour des preuves que les formulations étendues sont plus faibles que P, Rothvoss récemment a prouvé que le polyope correspondant a une complexité d'extension exponentielle; néanmoins, des fonctions linéaires arbitraires sur le polytope correspondant peuvent être résolues en utilisant soit l'algorithme d'Edmonds, soit la méthode ellipsoïde.

— Sasho Nikolov

plus techniquement, il y a de nombreuses raisons pour lesquelles les résultats sont loin de P vs NP: les résultats sont pour un encodage fixe des solutions aux problèmes comme vecteurs, et n'excluent pas qu'un encodage plus intelligent puisse permettre des formulations polysize; en outre, les résultats indiquent que pour le codage donné, chaque LP compact échoue sur une fonction objective, mais il pourrait être possible d'utiliser différents LP pour différentes fonctions objectives; enfin, nous n'avons pratiquement pas de limites inférieures explicites contre les SDP, et puis il y a la méthode ellipsoïde qui peut résoudre des LP de taille exponentielle

— Sasho Nikolov

Il existe une bibliothèque appelée SMAPO (abréviation de bibliothèque de descriptions linéaires des instances de problème SMAll de POlytopes en optimisation combinatoire) pour de nombreux polytopes, y compris le TVP symétrique ainsi que le TSP graphique.

Pour le STSP, voici la liste du nombre de facettes pour les petits polytopes

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— Stefan
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