Complexité temporelle d'une boucle triple imbriquée

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Veuillez considérer la boucle triple imbriquée suivante:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

L'instruction ici est exécutée exactement $n(n+1)(n+2)\over6$ fois. Quelqu'un pourrait-il expliquer comment cette formule a été obtenue? Je vous remercie.

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
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La formule de complexité de l'heure des boucles imbriquées pourrait également être intéressante.

— Juho

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Vous pouvez compter le nombre d'exécutions de la boucle for la plus interne en comptant le nombre de triplets pour lesquels elle est exécutée. $(i,j,k)$

Par les conditions de boucle, nous savons que: . Nous pouvons le réduire au problème de combinatoire simple suivant. $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

Imaginez boîtes de couleur rouge placées dans un tableau de gauche à droite. $n+2$
Choisissez 3 boîtes parmi les et peignez-les en bleu. $n+2$
Formez un triplet comme suit:
- = 1 + nombre de cases de couleur rouge à gauche de la première case bleue. $i$
- = 1 + nombre de cases de couleur rouge à gauche de la deuxième case bleue. $j$
- = 1 + nombre de cases de couleur rouge à gauche de la troisième case bleue. $k$

Donc, nous avons juste besoin de compter le nombre de façons de choisir 3 boîtes parmi boîtes qui est $n+2$ . $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
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Bonne réponse! Les valeurs exactes de i, j, k ne sont pas importantes. Il suffit de savoir que toute case bleue peut être placée dans n positions possibles et que leurs positions sont délimitées: la 2e vient toujours après la 1ère et avant la 3ème.

— Dávid Natingga

@rizwanhudda Clear sauf pour la partie

dans

. Pouvez-vous l'expliquer s'il vous plaît?

ressemble au bon nombre.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame

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@saadtaame Oui. Vous pouvez imaginer avoir

cases rouges, mais avoir la liberté de choisir 3 cases rouges pour peindre le bleu parmi "

cases rouges", car vous ne pouvez pas colorer la première case en bleu (depuis

)

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

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pour moi, il est plus facile de remarquer que la boucle intérieure est exécutée fois et que le nombre total d'exécutions dans la boucle intérieure est $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

cela peut être réécrit comme et est exécuté fois, donc le nombre total d'exécutions est $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— andy mcevoy
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Un défi pour vous: imaginez que vous avez une boucle imbriquée x. Selon la réponse précédente, il exécuterait (n + x-1) choisir x fois. Comment calculeriez-vous votre formule?

— Dávid Natingga

heureusement, l'OP n'a pas demandé x-nested! Comment l'autre réponse donnée s'étend-elle à une boucle imbriquée x? Ma réponse devrait simplement obtenir plus de sommes allant de 0 à n, 0 à n-i_1, 0 à n-i_2, ..., 0 à n-i_x. Mais je ne saurais pas calculer cela.

— andy mcevoy

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La réponse ne se développe pas explicitement pour un x général, mais le processus de raisonnement présenté est facile à suivre pour les boucles imbriquées x. Vous venez d'ajouter plus de cases bleues. Je ne sais pas non plus comment je calculerais ces sommes supplémentaires.

— Dávid Natingga