L'ensemble des machines de Turing qui s'arrête au maximum en 50 étapes sur toutes les entrées est-il décidable?

Soit . Je dois décider si F est décidable ou récursivement énumérable. Je pense que c'est décidable, mais je ne sais pas comment le prouver.$F = \{⟨M⟩:\text{M is a TM which stops for every input in at most 50 steps}\}$

Mes pensées

Cette partie "50 étapes" tourne immédiatement le signe R pour moi. S'il s'agissait d'une entrée spécifique, ce serait décidable. Cependant, ici, c'est pour chaque entrée. Le vérifier pour des entrées infinies me fait penser que le problème est co-RE , c'est -à- dire que son complément est acceptable.

Peut-être que je peux vérifier les configurations et voir que toutes les configurations après 50 étapes ne conduisent pas à accepter l'état - comment faire?

Considérons le problème plus général des machines qui s'arrêtent après au plus étapes, pour certains N ⩾ 1 . (Ce qui suit est une simplification substantielle d'une version précédente de cette réponse, mais est effectivement équivalent.)$N$$N \geqslant 1$

Comme le fait remarquer swegi dans une réponse précédente, si la machine s'arrête après au plus étapes, seules les cellules 0 , 1 , … , N - 1 sur la bande sont significatives. Il suffit alors de simuler la machine M sur toutes les chaînes d'entrée de la forme x ∈ Σ N , dont il existe un nombre fini.$N$$0,1,\ldots,N-1$$M$$x \in \Sigma^N$

• Si l'une de ces simulations ne parvient pas à entrer dans un état d'arrêt par le $N^{\text{th}}\:\!$transition, cela indique que toute chaîne d'entrée commençant par est celle pour laquelle la machine ne s'arrête pas dans les N premières étapes.$x$$N$
• Si toutes ces simulations s'arrêtent au $N^{\text{th}}\:\!$transition, puis s'arrête en N étapes sur toutes les entrées de n'importe quelle longueur (dont la sous-chaîne de longueur N est tout ce sur quoi elle agit).$M$$N$$N$

Si s'arrête en pas plus de 50 pas, les positions que M peut atteindre sur la bande normalement infinie sont limitées. Ainsi, la bande infinie peut être simulée par une bande finie. Cela signifie que la bande peut être simulée par un automate fini. Il s'ensuit qu'une machine de turing M qui ne s'arrête pas en plus de 50 pas est bisimilaire à un automate fini M ' .$M$$M$$M$$M'$

Soit l'ensemble des états de M , F ⊂ Q l'ensemble des états accepteurs et Γ l'alphabet. Ensuite , nous construisons l'ensemble des états Q ' de M ' comme suit: Q ' = { ⟨ n , q , s , p , un $Q$$M$$F \subset Q$$\Gamma$$Q'$$M'$ où p est la position de la tête de lecture / écriture au-dessus de la bande. Nous pouvons limiter la position à { - 50 , . . . , 50 } car le nombre d'étapes de calcul autorisées limite le nombre de positions accessibles.$Q' = \{ \langle n, q, s, p, a\rangle \, | n \in \{0,...,50\} \, q \in Q, s \in \Gamma, p \in \{-50,...,50\}, a \equiv q \in F\}$$p$$\{-50,...,50\}$

Ayant un état de l'automate fini M ' puis des moyens que nous sommes à l' état q de l'automate d' origine avec s sur la bande à la position p , où également la tête de lecture / écriture est positionnée , après la n - ième étape de calcul. L'état est une accepter une si un ≡ t r u e .$\langle n, q, s, p, a\rangle$$M'$$q$$s$$p$$n$$a \equiv true$

Transformer la relation de transition d'une machine à béton est un peu plus de travail mais pas nécessaire pour la question d'origine, car il suffit de montrer que l'espace d'état est fini (et donc nous pouvons simplement tester chaque entrée avec une longueur d'au plus 50 symboles sur chacun de ces automates). L'idée est de construire une nouvelle relation de transition qui passe d'un état à un état ⟨ n + 1 , q ' , s ' , p ' , un ' ⟩ dans le $\langle n, q, s, p, a \rangle$$\langle n+1, q', s', p', a'\rangle$$n$-ième étape de calcul ssi la transition a participé à la relation de transition originale.$\langle q, s, p\rangle \rightarrow \langle q', s', p'\rangle$