Montrer que {xy | x | = | y |, x ≠ y} est sans contexte

Je me souviens d’avoir rencontré la question suivante au sujet d’une langue supposée être sans contexte, mais j’ai été incapable de trouver une preuve de ce fait. Est-ce que je me suis peut-être mal souvenu de la question?

Quoi qu'il en soit, voici la question:

Montrer que la langue est sans contexte.$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

Revendication : est sans contexte.$L$

Idée prouvée : il doit y avoir au moins une différence entre la première et la seconde moitié; nous donnons une grammaire qui veille à en générer une et laisse le reste arbitraire.

Preuve : Pour simplifier, supposons un alphabet binaire . La preuve s'étend facilement à d'autres tailles. Considérons la grammaire :$\Sigma = \{a,b\}$$G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

Il est clair que cela génère

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

le suspect peut effectuer une induction imbriquée sur et avec une distinction de casse sur les paires . Maintenant, et commutent (intuitivement, et peuvent échanger des symboles car ils contiennent tous deux des symboles choisis indépendamment du reste du mot). Par conséquent, et ont la même position (dans leur moitié respective), ce qui implique car n'impose aucune autre restriction à son langage.$k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$

Le lecteur intéressé peut avoir deux problèmes de suivi:

Exercice 1 : Préparez un PDA pour !$L$

Exercice 2 : Qu'en est-il de ?$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$