Comment se retrouve-t-on avec un exposant non entier en complexité temporelle? (par exemple,

Je rencontre périodiquement des phrases comme

"Variante de Winograd [20] de cet algorithme, dont la complexité asymptotique est également $O(n^{2.81})$ sont considérés "(à partir de https://www.cise.ufl.edu/~sahni/papers/strassen.pdf )

Je comprends intuitivement comment nous nous retrouvons avec des complexités comme $O(n^2)$ et $O(n \log n)$ parce que je peux voir comment les boucles et les arbres fonctionnent. Mais je n'ai aucune idée de comment on finit par dériver une complexité avec une décimale. Quelqu'un peut-il me donner un exemple de la façon dont cela se produit?

complexity

— Joe
source

La complexité du temps d'exécution de l'algorithme de Strassen est donnée par la récurrence

T (n) = 7 T (n / 2) + O (n^{2}) .

$T(n) = 7T(n/2) + O(n^2).$ (Avec un cas de base approprié.) La solution de cette récurrence est

T (n) = O (n^{\log_{2} 7})

$T(n) = O(n^{\log_2 7})$ .

L'algorithme de Strassen multiplie deux $n \times n$ matrices $A,B$ en les décomposant en quatre $(n/2)\times(n/2)$ matrices chacune, calculant sept combinaisons linéaires des plus petites matrices chacune, disons $(A_i,B_i)_{i=1,\dots,7}$ , calcul récursif $C_i = A_i B_i$ et calculer les quatre $(n/2)\times(n/2)$ matrices du résultat en prenant des combinaisons linéaires des matrices $C_i$ . C'est ainsi que ce temps de course a vu le jour. Si vous voulez en savoir plus, il y a beaucoup d'informations sur l'algorithme de Strassen. Il existe d'ailleurs des algorithmes asymptotiquement plus rapides pour la multiplication matricielle, le champion actuel étant Le Gall .

— Yuval Filmus
source

Je pense que je cherche la réponse - «vous obtenez une décimale, dans ce cas, en résolvant cette relation de récurrence». - J'essaie vraiment de poser une question un peu plus générale sur les circonstances dans lesquelles cela se produit. Une relation de récurrence est-elle le seul moyen possible d'obtenir un exposant non entier?

— Joe

Il existe d'autres moyens. Par exemple, dans les algorithmes de flux réseau, certains algorithmes itératifs peuvent converger dans

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ pas. D'autres exemples sont les polynômes de Chebyshev, qui se comportent comme des polynômes de degré

d

$d$ mais avoir un diplôme

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$ . Il pourrait y avoir plus d'exemples, et en tout cas il n'y a aucune raison pour qu'une liste soit exhaustive - de nouvelles idées surgissent tout le temps.

— Yuval Filmus