Une union infinie de langues sans contexte est-elle toujours sans contexte?

Soit $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ , $\dots$ une suite infinie de langages sans contexte, chacun étant défini sur un alphabet commun . Soit l'union infinie de , , , ; c'est-à-dire, . $Σ$ $L$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $\dots$ $L = L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup \dots$

Est-il toujours vrai que est un langage sans contexte? $L$

formal-languages context-free closure-properties

— Gigili
source

Il y a ici deux questions essentiellement indépendantes. Le premier est très élémentaire, mais le second est même facilement répondu avec Wikipedia. Je vous suggère de modifier pour vous concentrer sur la première question.

— Raphael

@Raphael: Je l'ai fait moi-même avant votre suggestion, mais j'ai pensé que cela pourrait rendre certaines parties des réponses inutiles.

— Gigili

@Raphael: Cette modification annule la plupart de ce que j'ai écrit! Je ne pense pas que ce soit une bonne idée de transformer des questions comme ça, alors qu'il y a déjà des réponses.

— Aryabhata

@Aryabhata: Est-il possible de modifier votre réponse s'il vous plaît? Je l'ai édité pour éviter que la question ne soit facile comme il l'a dit! Je posterai une méta-question à ce sujet.

— Gigili

@Gigili: Je peux, mais je parlais en termes généraux. Imaginez le cas où quelqu'un fait des recherches et s'efforce d'écrire une réponse détaillée. Maintenant, vous allez changer la question qui invalide la plupart de cette réponse. Pour cette question, cela n'a peut-être pas d'importance, en fait, je peux probablement supprimer ma réponse, car nous aurons deux réponses disant la même chose et l'une d'entre elles serait juste du bruit.

— Aryabhata

L'union d'une infinité de langues sans contexte peut ne pas être sans contexte. En fait, l'union d'une infinité de langages peut être à peu près n'importe quoi: soit un langage, et définir pour chaque le langage (fini) . Le syndicat sur toutes ces langues est . Les langages finis sont réguliers, mais peut même ne pas être décidable (et donc certainement pas sans contexte). $L$ $l \in L$ $L_l = \{ l \}$ $L$ $L$

Les propriétés de fermeture des langages sans contexte peuvent être trouvées sur Wikipedia .

— Alex ten Brink
source

Merci pour votre réponse. Donc la réponse est non"? Pourriez-vous fournir un contre-exemple?

— Gigili

@Gigili: la langue est l'exemple habituel d'un langage qui n'est pas sans contexte, et en utilisant ma construction l'union de est exactement ce langage, mais tous les sont finis et donc sans contexte.

{a^{n} b^{n} c^{n} | n \geq 1}

$\{ a^n b^n c^n | n \geq 1 \}$

L_{1} = {a b c}, L_{2} = {a a b b c c}, L_{3} = {a a a b b b c c c}, \dots

$L_1 = \{ a b c \}, L_2 = \{ aa bb cc \}, L_3 = \{ aaa bbb ccc \}, \dots$

L_{i}

$L_i$

— Alex ten Brink

@Gigili Vous devriez pouvoir utiliser n'importe quel langage non contextuel comme contre-exemple en utilisant ce qu'Alex a écrit.

— Raphael

Une autre façon de décomposer n'importe quelle langue est en fonction de la longueur des mots: . Cela montre que même une union croissante de langues finies suffit pour décrire n'importe quelle langue.

L = ⋃_{n \in N} {w \in L ∣ | w | \leq n}

$L = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{w \in L \mid |w| \le n\}$

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'

"En fait, l'union d'une infinité de langues peut être à peu près n'importe quoi " (pas d'italique dans l'original). En fait, cela peut être n'importe quoi, point, pas "à peu près". Votre exemple le montre. Eh bien, l'ensemble / langue nul peut être un problème, mais les unions vides conviennent. Ainsi, il peut s'agir de l'ensemble le plus étrange et le plus non calculable, dans la hiérarchie que vous souhaitez. Il peut s'agir de n'importe quel ensemble.

— David Lewis