Existe-t-il des propriétés indécidables des automates non complets de Turing?

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Existe-t-il des propriétés indécidables des automates linéaires bornés (en évitant l'astuce de la langue vide)? Et pour un automate fini déterministe? (mettre de côté l'intraçabilité).

J'aimerais obtenir un exemple (si possible) d'un problème indécidable défini sans utiliser de machines Turing explicitement les .

Turing l'exhaustivité d'un modèle est-il nécessaire pour prendre en charge des problèmes non calculables?

computability automata undecidability

— Hernan_eche
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"Y a-t-il une solution pour ce système d'équations diophantiennes?" C'est bien ce que vous demandez? Ce n'est pas clair pour moi ce que tu veux. Mais, le problème que j'ai donné est indécidable et ne mentionne pas TM, donc, à proprement parler, il semblerait satisfaire les exigences de votre deuxième paragraphe.

— rgrig

Décider si deux automates de refoulement reconnaissent les mêmes mots est indécidable ainsi que d' autres problèmes concernant les automates de refoulement . Je ne peux pas penser à des problèmes indécidables impliquant des DFA.

— jmad

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La réponse à la question "Est-il possible de construire un problème indécidable pour un automate moins puissant qu'une machine de Turing" est oui . En fait, pour chaque type d'automate, on peut toujours identifier un problème indécidable.

— Amelio Vazquez-Reina

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Étant donné la réponse acceptée, j'ai reformulé la question pour demander ce que le PO veut (apparemment).

— Raphael

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Problèmes indécidables concernant les grammaires sans contexte, et donc les accepteurs de refoulement, qui sont des MT restreintes de Wikipedia ...

Étant donné un CFG, génère-t-il la langue de toutes les chaînes sur l'alphabet des symboles terminaux utilisé dans ses règles?
Étant donné deux CFG, génèrent-ils le même langage?
Étant donné deux CFG, la première peut-elle générer toutes les chaînes que la seconde peut générer?

Il existe de nombreux autres sur les CFG / PDA ainsi que les CSG / LBA et de nombreux autres modèles «plus simples que TM».

— David Lewis
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+1, merci, je suis toujours tenté de poser des questions sur un plus simple que CFG, etc. .. pour savoir qui est le premier connu des automates (simple) + problème indécidable

— Hernan_eche

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Pour trouver un problème "plus simple" ou "le plus simple" qui est indécidable, ou qui a une propriété, vous auriez besoin d'une définition précise de "simple", dont beaucoup sont possibles. Mais le classique dans les automates et les langages formels est "de niveau dans la hiérarchie de Chomsky" (qui n'est pas vraiment une hiérarchie, mathématiquement parlant - il était à l'origine proposé pour les grammaires du langage naturel). Le FSA est le plus bas, et je suis sûr que tout problème indécidable pour les FSA devrait se référer de manière "essentielle" à des formalismes "moins simples" (tous ayant besoin d'une définition précise). CFL / CFG est le deuxième plus haut, alors j'ai choisi cela.

— David Lewis

+1 Je suis d'accord, je trouve que le minimum est également indécidable, il n'est pas possible de créer un problème indécidable pour FSA, alors c'est possible pour CFG, c'est juste tentant de trouver quelque chose entre les deux, merci

— Hernan_eche

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@Hernan_e - il existe une structure très riche de modèles et de langages sous-CFL - par exemple, la famille pda / 1 compteur, qui utilise un "compteur" entier positif au lieu d'un pda; le pda à n tours, qui ne permet que des tours d'augmentation à diminution de la pile, et des généralisations de ceux-ci. Et il y a beaucoup de problèmes indécidables à ce sujet, ainsi que des questions ouvertes sur les structures, par exemple: y a-t-il une LFC non régulière "minimale" dans une notion précise de "minimal". Mais ce truc est généralement au niveau des diplômés et / ou de la recherche.

— David Lewis

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Ce que vous demandez dans la dernière partie de la question n'est pas clair, principalement parce que "un problème concernant un modèle de machine" n'est pas défini.

J'aimerais obtenir un exemple (si possible) de problème indécidable sans avoir besoin de Turing Machine

Soit une classe de machines et permet d'utiliser comme code de . Nous pouvons aussi interpréter comme le code de th TM et demander que, étant donné le th TM s'arrête? Et ce problème concernant s est indécidable. $\{M_i\}$ $i$ $M_i$ $i$ $i$ $M_i$ $i$ $M_i$

Une langue n'est qu'un ensemble de chaînes, quelle interprétation vous attribuez aux chaînes n'a aucun effet sur la décidabilité de la langue. À moins que vous ne définissiez formellement ce que vous entendez par un modèle de machine et un problème concernant ces machines, vous ne pourrez pas répondre à vos questions ultérieures.

Turing complète-t-il la machinerie minimale pour prendre en charge un problème indécidable?

Encore une fois, le point que j'ai mentionné ci-dessus s'applique. Une question plus raisonnable serait: toutes les preuves d'indécidabilité passent-elles par quelque chose de similaire à l'indécidabilité du problème d'arrêt des MT? (La réponse est: il existe d'autres moyens).

Une autre question possible est: quel est le plus petit sous-ensemble de MT où le problème d'arrêt pour eux est indécidable. Évidemment, une telle classe devrait contenir des problèmes qui ne s'arrêtent pas (sinon le problème est trivialement décidable). Nous pouvons facilement créer des sous-ensembles artificiels de MT où le problème d'arrêt n'est pas décidable sans être en mesure de calculer quoi que ce soit d'utile. Une question plus intéressante concerne les grands ensembles de MT décidables où l'arrêt est décidable pour eux.

Voici un autre point: dès que vous avez une très petite capacité à manipuler des bits (par exemple une taille polynomiale ), vous pouvez créer une machine avec trois entrées: , et telle sorte qu'elle produise 1 ssi est un arrêt de l'acceptation du calcul de TM sur l'entrée . Ensuite, vous pouvez poser les problèmes comme: y a-t-il un st est 1? ce qui est un problème indécidable. $\mathsf{CNF}$ $N$ $e$ $x$ $c$ $c$ $M_e$ $x$ $c$ $N(e,x,c)$

— Kaveh
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Il existe un problème indécidable très simple pour les automates à états finis. Divisez l'alphabet en deux moitiés , où les lettres en sont des copies "barrées". Maintenant, étant donné un automate à états finis sur décidez s'il accepte une chaîne telle que la partie non barrée est égale à la partie barrée (si nous ignorons les barres). Par exemple, la chaîne serait correcte (les deux parties épelent ). $\Sigma \cup \bar\Sigma$ $\bar\Sigma$ $A$ $\Sigma\cup\bar\Sigma$ $a a \bar a \bar a b\bar b \bar aa$ $aaba$

Oui, c'est un problème de post-correspondance caché dans un automate à états finis. L'exhaustivité de Turing est loin d'être évidente dans la question. Il est là, en arrière-plan, alors que les deux copies (non barrées et barrées) codent ensemble une file d'attente, elle-même de puissance Turing.

— Hendrik Jan
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avez-vous une référence à ce sujet? il n'est pas évident de savoir comment convertir PCP en cela. fyi il y a aussi des problèmes indécidables avec les "transducteurs" FSM.

— vzn

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(u_{1}, \dots, u_{n})

$(u_1,\dots,u_n)$

(v_{1}, \dots, v_{n})

$(v_1,\dots,v_n)$

{u_{1} {\bar{v}}_{1}, \dots, u_{n} {\bar{v}}_{n}}^{+}

$\{ u_1\bar v_1, \dots, u_n\bar v_n \}^+$

\bar{v}

$\bar v$

v

$v$

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"Est-il possible de construire un problème indécidable pour un automate moins puissant qu'une machine de Turing?" "

Oui. Un automate est une formulation axiomatique cohérente de la théorie des nombres (par exemple, voir (1) ) et, par conséquent, selon le premier théorème d'incomplétude de Gödel, il doit inclure des propositions indécidables.

Exemple:

Tout problème indécidable pour une MT est également indécidable pour tout automate qu'une MT peut simuler. Pourquoi? Parce que si un automate moins puissant qu'une MT peut décider d'un langage qu'une MT ne peut pas décider, une MT devrait pouvoir le décider en simulant l'automate avec renvoie une contradiction.

— Amelio Vazquez-Reina
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La question de savoir si un LBA s'arrête ou non est également décidable pour une MT, donc cela ne faisait pas partie des exemples que j'ai fournis dans ma réponse. Tout problème indécidable pour une MT est également indécidable pour une LBA.

— Amelio Vazquez-Reina

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La deuxième affirmation est fausse pour toute interprétation car le problème d'arrêt est récursif pour les LBA mais pas pour les TM. Pour les MT, il est récursivement énumérable, et si vous voulez étirer la terminologie et appeler les deux "décidables", alors considérez le problème de co-arrêt pour les deux - récursif pour les LBA mais pas même récursivement énumérable pour les TM. Quant à la première déclaration, tout ce qui est "non artificiel" pour les automates à états finis est récursif. Nous pourrions toujours utiliser "Est-ce que cette FSA accepte exactement

{T | T M T h a l t s o n i n p u t T}

$\{T|TM T halts on input T\}$ ce qui n'est clairement pas décidable, mais c'est artificiel. Cela peut probablement être officialisé.

— David Lewis

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@roseck - d'abord une correction:

{T | TM T (T) halts}

$\{T|\text{ TM } T(T) \text{ halts}\}$ . Deuxièmement, je suis assez confus par votre déclaration et votre réponse - aucun de vos liens ne justifie les déclarations qu'ils affichent; les deux sont des articles généraux.

— David Lewis

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@DavidLewis roseck ne prétend pas qu'un problème indécidable sur les MT est toujours indécidable si vous le réinterprétez comme concernant les LBA. roseck déclare simplement que s'il y a un problème qui ne peut pas être résolu par les MT, alors le même problème exact sans réinterprétation ne peut pas être décidé par tout ce qu'une MT peut simuler. Le problème d'arrêt de TM et le problème d'arrêt de LBA sont deux problèmes différents.

— Ben

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@Ben - si c'est le cas, alors "... indécidable pour tout automate qui ..." devrait être " par ". Mais c'est une déclaration banale.

— David Lewis

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Emil Post a voulu trouver la réponse à cette question: y a-t-il un ensemble non récursif (non calculable) qui ne résout pas le problème d'arrêt. Il n'a réussi qu'en partie, mais ce qu'il a fait, c'est créer ce qu'on appelle des ensembles simples .

De Wikipédia:

Un sous-ensemble des naturels est appelé simple s'il est co-infini et récursivement énumérable, mais chaque sous-ensemble infini de son complément ne peut pas être énuméré récursivement. Les ensembles simples sont des exemples d'ensembles énumérables récursivement, qui ne sont pas récursifs. Jetez un oeil à l'article Wikipedia pour plus d'informations et de références, ensemble simple .

— Pål GD
source