Quel est l'algorithme le plus rapide pour la multiplication de deux nombres à n chiffres?

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Je veux savoir quel algorithme est le plus rapide pour la multiplication de deux nombres à n chiffres? La complexité de l'espace peut être détendue ici!

algorithms mathematical-programming

— Andy
source

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Êtes-vous intéressé par la question théorique ou par la question pratique?

— Yuval Filmus

Les deux, mais plus enclins à la pratique!

— Andy

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Pour la question pratique, je recommande d'utiliser GMP. Si vous êtes curieux de savoir ce qu'ils utilisent, consultez la documentation ou le code source.

— Yuval Filmus

Personne ne sait. Nous ne l'avons pas encore trouvé.

— JeffE

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L'algorithme de Fürer de Martin Fürer a désormais une complexité temporelle de qui utilise des transformées de Fourier sur des nombres complexes. Son algorithme est en fait basé sur l'algorithme de Schönhage et Strassen qui a une complexité temporelle de $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$ $Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

D'autres algorithmes qui sont plus rapides que l'algorithme de multiplication des écoles primaires sont la multiplication de Karatsuba qui a une complexité temporelle de ≈ et l'algorithme Toom 3 qui a une complexité temporelle de $O(n^{\log_{2}3})$ $O(n^{1.585})$ $Θ(n^{1.465})$

Notez que ce sont les algorithmes rapides. Trouver l'algorithme le plus rapide pour la multiplication est un problème ouvert en informatique.

Les références :

— avi
source

Notez le récent article de D. Harvey et J. van der Hoeven (mars 2019) décrivant un algorithme avec une complexité .

O (n \ln n)

$O(n\ln n)$

— hardmath

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Notez que les algorithmes FFT répertoriés par avi ajoutent une grande constante, ce qui les rend peu pratiques pour des nombres inférieurs à des milliers + bits.

En plus de cette liste, il existe d'autres algorithmes intéressants et des questions ouvertes:

Multiplication temporelle linéaire sur un modèle RAM (avec précalcul)
La multiplication par une constante est sublinéaire ( PDF ) - cela signifie un nombre sublinéaire d'additions qui obtient pour un total decomplexité en bits. Ceci est essentiellement équivalent à une longue multiplication (où vous décalez / ajoutez en fonction du nombre des dans le nombre inférieur), qui est, mais avec unaccélération à. $\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$ $1$ $\mathcal{O}\left({n^2} \right)$ $\mathcal{O}\left(\log n\right)$
Système de numération des résidus et autres représentations des nombres; la multiplication est un temps presque linéaire. L'inconvénient est que la multiplication est modulaire et {détection de débordement, parité, comparaison d'amplitude} sont toutes aussi difficiles ou presque aussi difficiles que la conversion du nombre en représentation binaire ou similaire et la comparaison traditionnelle; cette conversion est au moins aussi mauvaise que la multiplication traditionnelle (pour le moment, AFAIK).
- Autres représentations:
  - [ Représentation logarithmique ]: la multiplication est l'addition de la représentation logarithmique. Exemple:
    $16 \times 32 = 2^{\log_{2} 16 + \log_{2} 32} = 2^{4 + 5} = 2^{9}$
    - L'inconvénient est que la conversion vers et depuis la représentation logarithmique peut être aussi difficile que la multiplication ou plus difficile, la représentation peut également être fractionnelle / irrationnelle / approximative, etc. D'autres opérations (addition?) Sont probablement plus difficiles.
  - Représentation canonique : représente les nombres comme les exposants de la factorisation première. La multiplication est l'addition des exposants. Exemple: $36 \times 48 = 3^{2} \cdot 5^{1} \times 2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 4^{1} = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 4^{1} \cdot 5^{1}$ $36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$
  - L'inconvénient est, nécessite des facteurs ou factorisation, un problème beaucoup plus difficile que la multiplication. D'autres opérations telles que l'ajout sont probablement très difficiles.

— Realz Slaw
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Je crois qu'une approche basée sur le théorème des résidus / chinois avec les bons modules peut conduire à des accélérations sur la multiplication traditionnelle même avec la reconversion; à un moment donné, c'était dans le chapitre 4 du TAOCP, du moins en note de bas de page. (Cela ne se rapproche toujours pas des méthodes basées sur la FFT, mais c'est une note historique intéressante)

— Steven Stadnicki

@StevenStadnicki oh cool, je dois regarder ça alors; connaissez-vous la complexité?

— Realz Slaw