Ratio de problèmes décidables

Considérez les problèmes de décision énoncés dans un langage formel «raisonnable». Disons des formules en arithmétique Peano d'ordre supérieur avec une variable libre comme cadre de référence, mais je suis également intéressé par d'autres modèles de calcul: équations diophantiennes, problèmes de mots issus de règles de réécriture utilisant des machines de Turing, etc. Une réponse exprimée dans n'importe quelle la formalisation classique serait bien, mais si vous savez à quel point le choix de la formalisation influence la réponse, ce serait également intéressant.

Compte tenu de la longueur de la déclaration d'un problème de décision, nous pouvons définir le nombre des états décidables de longueur et le nombre des états indécidables de longueur . $N$ $D(N)$ $N$ $U(N)$ $N$

Que sait-on de la croissance relative de et ? En d'autres termes, si je prends au hasard un problème de décision bien formé, quelle est la probabilité qu'il soit décidable pour une longueur de déclaration donnée? $U(N)$ $D(N)$

_{Inspiré par cette question qui demande si «la plupart des problèmes et algorithmes [sont] décidables». Eh bien, si vous ne filtrez pas par intérêt, le sont-ils?}

computability undecidability

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'
source

Donc, vous demandez essentiellement quelle est la proportion d'une grande partie des langages descriptibles qui sont décidables? Si nous considérons toutes les langues, cette fraction est évidemment 0 car il existe un nombre incalculable de langues.

— Alex ten Brink

@AlextenBrink Plus précisément, je demande dans quelle mesure une fraction des descriptions de langues sont des langues décidables. Cela pourrait faire une différence, le nombre de descriptions équivalentes d'une langue est corrélé avec sa décidabilité. PS N'hésitez pas à modifier ma question si vous ne pensez pas qu'elle soit clairement exprimée.

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'

D (N)

$D(N)$

une question connexe: quelle est la probabilité qu'une machine de Turing aléatoire à n états soit décidable?

— Kaveh

Voici une question similaire sur les mathématiques : densité de l'arrêt des machines de Turing

— Kaveh

$U(N)$ $D(N)$

— vzn
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Les deux fonctions sont, bien entendu, non calculables en général. Cependant, il n'est pas exclu de trouver des bornes explicites sur leur rapport asymptotique, tout comme on peut trouver des bornes sur le nombre de chaînes non compressibles de taille n.

— cody