Pourquoi la plupart des scientifiques croient-ils que P ≠ NP?

J'ai lu que la plupart des scientifiques ne croient pas que P = NP. Cela peut être subjectif mais pouvez-vous simplifier pourquoi pas? Je ne suis pas suffisamment informé pour avoir une opinion mais j'aimerais connaître les définitions et une explication "assez simple" pourquoi croire à l'un ou l'autre cas, par exemple pourquoi même croire qu'il peut être prouvé?

Un problème NP-complet peut être transformé en un autre problème NP-complet. Il y a une abondance de problèmes connus NP-complets, en fait, on pourrait même dire que tout problème vraiment intéressant est NP-complet. Donc , si vous connaissez un moyen de résoudre tout problème NP-complet rapidement, vous pouvez prendre tout autre problème NP-complet, la transformer en une instance de , et résoudre rapidement que aussi bien.$X$$X$

Plusieurs recherches intelligentes ont consacré beaucoup de temps à la recherche de ces problèmes difficiles. Malgré tous les efforts et les années, nous n'avons toujours pas d'algorithme de temps polynomial pour aucun des problèmes NP-complets. Nous avons également des résultats conditionnels de la forme "si vous pouvez le faire plus rapidement / mieux, alors P = NP".

Quant à la preuve, nous n'en savons peut-être pas grand-chose avec certitude. Ce que nous savons, c'est que quelle que soit la preuve, elle ne peut pas être d'un certain type. Donc, au moins s'il y a jamais eu une preuve, elle devra expliquer comment elle évite certaines difficultés connues.

Pour plus de détails, vous pouvez d'abord consulter le livre de Sipser, puis le livre Arora-Barak.

P ≠ NP semble être une sorte de "limite de vitesse de calcul" ou "pas de théorème de déjeuner gratuit" ou "goulot d'étranglement fondamental" dont il existe de nombreux autres exemples similaires dans de nombreuses branches des sciences, des mathématiques et même de la physique. la quantité de calcul requise pour résoudre un problème SAT est exponentielle dans tous les algorithmes connus, et il y en a beaucoup qui ont été inventés au fil des ans par les meilleurs chercheurs. des décennies de recherche ont été consacrées à la résolution du SAT à lui seul, en fait plus d'un demi-siècle de recherche, par exemple depuis l' algorithme de Davis Putnam qui a été trouvé et analysé en ~ 1960, même une décennie avant la théorie de l'exhaustivité du NP au début des années 1970.

intuitivement P ≠ NP déclare que, quelle que soit la créativité avec laquelle le concepteur d'algorithmes est brillant, il existe des limites fondamentales à l'amélioration de l'efficacité du code. de cette façon, il a même des parallèles avec les lois physiques, par exemple la thermodynamique. cela peut être interprété comme une limite à la quantité de traitement de l'information qui peut être effectuée à la fois par n'importe quel système physique.

mais personne ne pense qu'il y a une raison "assez simple" pour laquelle le théorème est vrai, au moins dans le sens de la structure de preuve, car si une telle raison existait, il semble qu'elle serait découverte maintenant. en d'autres termes, cela semble vrai, mais la raison en est "extrêmement compliquée". peut-être à partir de quelques décennies de recherches et d'analyses / simplifications futures une fois qu'il aura été prouvé, il pourrait commencer à paraître "plus simple" dans 20-20 rétrospective / rétrospective, certaines preuves, notamment critiques, passent par ce processus quelque peu évolutif au fil du temps.

un autre angle à cet égard est que la cryptographie moderne est basée sur l'existence de fonctions "dures" et de fonctions de type "trappe" dans lesquelles le calcul est facile d'une manière et non de l'autre. en d'autres termes, les chercheurs sont si confiants dans la conviction que P ≠ NP qu'ils ont construit des systèmes cryptographiques élaborés basés sur la prémisse.

cependant, une petite minorité de chercheurs «n'excluent pas» P = NP, certains d'entre eux étant des experts accomplis, par exemple RJ Lipton .

L'une des raisons de ces messages est que je pense qu'une grande partie de ce que nous croyons en tant que communauté à propos de P NP peut être au mieux une conjecture et au pire tout simplement tout simplement faux. La plupart pensent que «évidemment» P ≠ NP, mais je n'en suis pas si sûr. Je pense vraiment que le contraire pourrait tout aussi bien tenir.$\stackrel{?}{=}$

voir ces jolis sondages de Gasarch

[1] Gasarch P vs NP sondage I, 2002

[2] Gasarch P vs NP sondage II, 2012

quant à sa prouvabilité intrinsèque, il y a un débat d'experts sérieux sur ce sujet. voir cette référence / sondage, et aussi un célèbre article primé.

[3] P ≠ NP est-il formellement indépendant? Aaronson

[4] Preuves naturelles Razborov / Rudich

Je pense que les gens croient toujours à la conjecture qui a "plus de quantificateurs". Nous conjecturons toujours qu '"il n'y a pas de nombre tel que" plutôt que "il y a un nombre" ou que "il y a une infinité de tels nombres" plutôt que "il n'y a pas plus de nombres plus grands que cela". Une raison devrait être que nous pensons que s'il y avait un tel nombre / limite, alors nous pourrions le trouver / le deviner.

Avec P = NP, si vous pensiez qu'ils étaient égaux, alors vous devriez penser qu'il existe un algorithme pour SAT, encore une chose constructive, qui si nous ne pouvons pas montrer que les sorties, nous conjecturons que ce n'est pas le cas. Au moins, après que beaucoup de gens intelligents y ont travaillé et ne l'ont pas trouvé.

Notez que P = NP est différent des conjectures de la théorie des nombres, qui sont basées sur des preuves empiriques, comme en supposant que les nombres premiers se comportent comme des nombres aléatoires. Ici, il n'y a aucune hypothèse à l'appui, sauf que jusqu'à présent, personne ne pouvait trouver d'algorithme. Je suppose que cela rend la conjecture "moins probable" mais bien sûr, il ne peut y avoir aucun moyen formel d'attribuer des probabilités aux énoncés mathématiques.

Mais il vaut probablement mieux lire les opinions des experts, voir ici: http://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem#Reasons_to_believe_P_.E2.89.A0_NP