Pont des théorèmes pour la théorie des groupes et les langages formels

Existe-t-il un moyen naturel ou notable de relier ou de lier des groupes mathématiques et des langages CS formels ou un autre concept CS fondamental, par exemple les machines de Turing?

Je recherche des références / applications. Notez cependant que je suis conscient du lien entre les semigroupes et les langages CS (notamment via des automates finis ). (Cette littérature sur les semi-automates examine-t-elle jamais les «groupes-automates»?)

Il y a de nombreuses années, j'ai vu un document qui pourrait se rapprocher, qui convertit les tables de transition TM en une opération binaire, peut-être parfois un groupe dans certains cas, peut-être basé sur une sorte de symétrie dans la table d'état TM. Il n'a pas exploré cela en particulier, mais ne l'a pas non plus exclu.

En particulier, en ce qui concerne le vaste corpus de recherches en mathématiques sur la classification des groupes finis , cela a-t-il ou pourrait-il avoir une signification ou une interprétation dans TCS? Quelle est la "lentille algorithmique" de cet édifice massif de la recherche mathématique? Que dit-il d'une éventuelle structure cachée dans le calcul?

Cette question est en partie inspirée par d'autres notes, par exemple:

• Utilisation de structures algébriques dans TCS

• RJ Lipton sur le théorème de Gromov

Permettez-moi d'abord de répondre à votre sous-question: la littérature sur les semi-automates examine-t-elle jamais les «automates de groupe»? . La réponse est oui. Dans son livre (Automates, langages et machines. Vol. B, Academic Press), S. Eilenberg a donné une caractérisation des langages réguliers reconnus par les groupes commutatifs finis et les groupes . Des résultats similaires sont connus pour les groupes nilpotents finis, les groupes solubles et les groupes supersolubles.$p$

Les groupes finis jouent également un rôle important dans le problème de la recherche d'un ensemble complet d'identités pour les expressions régulières. Un ensemble complet infini a été proposé par John Conway et cette conjecture a finalement été prouvée par D. Krob. Il existe un nombre fini d'identités «de base», plus une identité pour chaque groupe simple fini . Voir ma réponse à cette question pour les références.

Dans la direction opposée, la théorie des automates finis conduit à une preuve élémentaire des résultats de base sur la théorie des groupes combinatoires, comme la formule de Schreier. Basé sur le papier séminal de Stallings Topology of Finite Graphs .

Toujours dans la direction opposée, les groupes automatiques sont définis en termes d'automates finis.

Les groupes de profit jouent également un rôle important dans la théorie des automates. Un exemple est la caractérisation des langages réguliers reconnus par des automates à transition réversible avec éventuellement plusieurs états initial et final.

Pour une très belle connexion entre les langages sans contexte, les groupes et la logique, voir l'article de David E. Muller et Paul E. Schupp, Langages sans contexte, groupes, théorie des fins, logique du second ordre, problèmes de tuilage, cellulaire automates et systèmes d'addition de vecteurs .

$^1$$S_5$$A_5$

En ce qui concerne la classification des groupes simples finis, pour autant que je m'en souvienne, elle est implicitement utilisée dans certains algorithmes d'isomorphisme de groupe, un problème lié à l'isomorphisme des graphes.

$g_1, ..., g_m$$a_1 = b_1, ..., a_n = b_n$$x, y \in \{g_1, ..., g_m\}^*$$\{g_1, ..., g_m\}$$x = y$

Il existe de nombreux résultats profonds donnant des conditions pour des classes de groupes ayant des problèmes de mots résolubles. Il est également intéressant d'étudier la complexité de la résolution des problèmes de mots (pour les classes de groupes qui ont un problème de mots décidables), voir par exemple ici .

Avec Google, j'ai trouvé l'article Reloid free profinite monoids: an introduction and exemples, in Semigroups, Formal Languages ​​and Groups de Jorge Almeida (traduction anglaise dans Journal of Mathematical Sciences , 144 (2): 3881–3903, 2007) sur ce sujet.