Fonctions Scott-continues: une définition alternative

Je me bats vraiment avec cette propriété:

Soient $X,Y$ soit des espaces de cohérence et $f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ est une fonction monotone. est continu si et seulement si , pour tout tel que D est un ensemble dirigé.$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

L'ensemble dirigé est défini ainsi: $D \subseteq$ POSETest un ensemble dirigé ssi tel et . représente les cliques de X: cohérent .$\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$x ′ ⊆ z C l ( X ) { x ⊆ | X | ∣ a , b ∈ x ⇒ a b $x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

De nombreux livres donnent cela comme une définition des fonctions continues de Scott , mais malheureusement pas mon professeur. Il nous a donné cette définition du continu:

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ est continu si elle est monotone et , où le monotone est défini comme: est monotone si$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
$f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

C'est la preuve que j'ai proposée, mais je ne peux pas comprendre la dernière équation.

La preuve de continue implique$f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Soit . Par la définition de la continuité, . Notez que x_0 est l'union de \ {x_i \ mid x_i \ dans D \} . Si D est direct alors: \ existe z \ dans D \ mid x_i \ subseteq z puis x_0 \ subseteq z . Par la définition de la monotonie, f (x_0) \ subseteq f (z) donc b \ in f (z) (???) \ subseteq \ bigcup f (D) . Et même cela est vrai, nous devons montrer que \ bigcup f (D) = f (\ bigcup D) , pas seulement∃ x 0 ⊂ f i n x ∣ b ∈ f ( x 0 ) x 0 { x i ∣ x i ∈ D } D ∃ z ∈ D ∣ x i ⊆ z x 0 ⊆ z f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) b ∈ $b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
$D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ ⋃ f ( D ) = f ( ⋃ D ) $\subseteq \bigcup f(D)$$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$ .

La preuve de l'autre implication est encore pire donc je ne peux pas l'écrire ici ... Pouvez-vous m'expliquer comment la preuve peut fonctionner?

La définition de continuité utilisée par votre professeur est la plus agréable. Il vous dit assez concrètement ce que signifie la continuité.

Supposons que . Cela signifie que compte tenu de toutes les informations de x , peut-être un ensemble infini de jetons (atomes), la fonction produit un élément qui possède la pièce atomique d'information b . (Il pourrait aussi contenir d'autres informations, mais nous ne nous en préoccupons pas pour le moment.) La définition de votre professeur dit qu'il n'est pas nécessaire de regarder toutes les informations infinies de x pour produire les informations de sortie b . Un sous-ensemble fini de x suffit pour le produire.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(Le livre de Melvin Fitting "Théorie de la calculabilité, sémantique et programmation logique", Oxford, 1987, appelle cette compacité de propriété et définit une fonction continue comme étant monotone et compact.)

C'est l' essence de la continuité. Pour obtenir une quantité finie d'informations sur la sortie d'une fonction, vous n'avez besoin que d'une quantité finie d'informations sur l'entrée. La sortie produite par la fonction pour une entrée infinie est obtenue en rassemblant les informations qu'elle produit pour toutes les approximations finies de l'entrée infinie. En d'autres termes, vous n'obtenez aucun saut magique en passant des approximations finies à leur union infinie. Quoi que vous obteniez à l'infini, vous devriez déjà en arriver à un stade fini.

L'équation standard est jolie à regarder, mais elle ne vous dit pas toute l'intuition que j'ai expliquée ci-dessus. Cependant, mathématiquement, cela équivaut à la définition de votre professeur.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

Pour montrer que , il suffit de montrer que f ( x ) est inclus dans f ( ⋃ x ∈ D x ) , pour chaque x ∈ D . Mais cela découle directement de la monotonie de f car x ⊆ ⋃ x ∈ D x . C'est donc la direction "facile".$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

L'autre direction, prouvée par votre professeur, est la plus intéressante: . Pour voir cela, utilisez l'intuition que j'ai mentionnée ci-dessus. Toute information atomique b dans le côté gauche provient d'une approximation finie de l'entrée: x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . Autrement dit, b ∈ f ( x 0 ) . Depuis x $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$est fini et il est inclus dans l'union de l'ensemble dirigé, il doit y avoir quelque chose dans l'ensemble dirigé qui soit supérieur à , peut-être x 0 lui-même. Appelez cet élément z . Par monotonie, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) . Donc, b ∈ f ( z ) . Puisque z ∈ D , f ( z ) ⊆ ⋃ x ∈ D f ( x ) . Alors, maintenant $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$est également visible sur le côté droit. QED.

Comme vous l'avez noté, montrer que la continuité de votre professeur implique que la jolie équation est la partie la plus facile. Le plus difficile est de montrer que la jolie équation, même si elle ne dit pas grand-chose, dit vraiment tout dans la définition de votre professeur.

Il m'est venu tardivement, après avoir écrit la dernière réponse, que la définition de la continuité de l'enseignant que j'expliquais dans ma réponse est la notion topologique de continuité. La formulation algébrique de la continuité qui est habituellement mentionnée dans les manuels d'informatique cache toutes les intuitions topologiques. (En fait, Dana Scott a souvent écrit qu'il avait délibérément évité les formulations topologiques parce que les informaticiens ne le connaissaient pas.)

Le lien entre les formulations algébriques et topologiques est appelé dualité de pierre , et il devient maintenant de plus en plus clair que ce lien lui-même est extrêmement important pour l'informatique.

Pour une exposition conceptuelle de ces connexions (et bien plus encore), voir les informations, les processus et les jeux d' Abramsky .