Complexité de la prise de mod

Cela semble être une question qui devrait avoir une réponse facile, mais je n'en ai pas de définitive:

$n$ $a, p$ $a\bmod p$

Diviser simplement $a$ par $p$ prendrait le temps $O(M(n))$ où $M(n)$ est la complexité de la multiplication. Mais $\bmod$ peut- être exécuté un peu plus rapidement?

algorithms number-theory

— Suresh
source

Peut-être une question stupide, mais pouvez-vous convertir

a

$a$ à écrire en base

p

$p$ et ensuite regarder le LSB?

— Pål GD

Vous pourriez, mais cela semble être un travail supplémentaire et nécessiterait probablement une division.

— Suresh

Shoup (Section 3.3.5, Théorème 3.3, p. 62) donne une borne pour calculer le résidu $r$ dans le temps $O(n\log q)$ où $a = q\cdot p +r$ et $\log a = n$ .

Je suppose que si $p$ et $a$ sont tous deux à peu près $n$ nombres de bits, alors $q$ (et donc $\log q$ ) devrait être plutôt petit, donnant $O(n)$ .

Si $a$ est un nombre à $n$ bits et $p$ est relativement petit, alors l'approche de multiplication devrait être plus rapide.

— Luke Mathieson
source