À quoi servent les treillis?

Wikipédia dit :

Des réseaux complets apparaissent dans de nombreuses applications en mathématiques et en informatique

S'agit-il simplement du fait que l'algèbre booléenne standard utilisée dans le calcul est un réseau complet? Y a-t-il quelque chose que nous gagnons à travailler au niveau abstrait des réseaux au lieu de la logique booléenne en particulier?

Une recherche Google ne trouve pas grand-chose sur le sujet, mais j'utilise probablement des mots-clés incorrects.

Voir par exemple ce livre: Lattice Theory with Applications, Vijay K. Garg , qui commence comme suit:

La théorie de l'ordre partiel et du réseau joue désormais un rôle important dans de nombreuses disciplines de l'informatique et de l'ingénierie. Par exemple, ils ont des applications dans l'informatique distribuée (horloges vectorielles, détection globale des prédicats), la théorie de la concurrence (pomsets, réseaux d'occurrences), la sémantique du langage de programmation (sémantique à virgule fixe) et l'exploration de données (analyse de concept). Ils sont également utiles dans d'autres disciplines des mathématiques telles que la combinatoire, la théorie des nombres et la théorie des groupes. Dans ce livre, j'introduis des résultats importants dans la théorie de l'ordre partiel ainsi que leurs applications en informatique. Le parti pris de l'ouvrage porte sur les aspects informatiques de la théorie des réseaux (algorithmes) et sur les applications (en particulier les systèmes distribués).

Le livre ne semble pas mentionner la théorie de la récursivité (théorie des ensembles calculables), mais à partir de l'article de Wikipedia sur la théorie de la calculabilité , nous voyons:

Lorsque Post a défini la notion d'un ensemble simple comme un ensemble re avec un complément infini ne contenant aucun ensemble infini, il a commencé à étudier la structure des ensembles énumérables récursivement sous inclusion. Ce réseau est devenu une structure bien étudiée. Les ensembles récursifs peuvent être définis dans cette structure par le résultat de base qu'un ensemble est récursif si et seulement si l'ensemble et son complément sont tous les deux récursivement énumérables. Les ensembles infinis ont toujours des sous-ensembles récursifs infinis; mais d'autre part, des ensembles simples existent mais n'ont pas de sur-ensemble récursif coinfinite. Post (1944) a présenté des ensembles déjà hypersimples et hyperhypersimples; plus tard, des ensembles maximaux ont été construits qui sont des ensembles de nouveau de sorte que chaque surensemble est soit une variante finie de l'ensemble maximal donné ou est co-fini. Publier' La motivation originale de l'étude de ce réseau était de trouver une notion structurelle telle que tout ensemble satisfaisant à cette propriété ne soit ni dans le degré de Turing des ensembles récursifs, ni dans le degré de Turing du problème d'arrêt. Post n'a pas trouvé une telle propriété et la solution à son problème a plutôt appliqué des méthodes de priorité; Harrington et Soare (1991) ont finalement trouvé une telle propriété.

Pour en savoir plus, consultez l'article de blog The Lattice Theory for Programmers and Non Computer Scientists .

Les références données par Pål GD sont en effet très appropriées. Alors concentrons-nous plutôt sur un problème secondaire mineur dans cette réponse. J'ai fait quelques lectures sur les réseaux il y a quelque temps et j'ai commencé à me demander si la notion de semi-réseau n'aurait pas été plus appropriée pour les applications. Vous pourriez objecter qu'un semi-réseau complet est automatiquement aussi un réseau, mais les homomorphismes et les sous-structures (c'est-à-dire les sous-réseaux et les sous-réseaux) sont différents.

J'ai rencontré pour la première fois des (semi-) réseaux lors de l'étude des semi-groupes, comme les semi-groupes commutatifs idempotents. Ensuite, j'ai réfléchi à la relation entre les structures hiérarchiques et les réseaux, et j'ai remarqué qu'un arbre est naturellement aussi un demi-réseau. Ensuite, j'ai trouvé des réseaux dans des contextes de sécurité et dans l'analyse de programme, et il m'a toujours semblé que la structure du demi-réseau était la partie vraiment importante, et le réseau a été simplement pris parce qu'il pouvait être obtenu "gratuitement". Même pour une algèbre de Heyting, il existe une asymétrie entre la conjonction et la disjonction qui me suggère que le modèle de semi-réseau asymétrique pourrait fournir ici plus d'informations que le modèle de réseau symétrique.

un cas très important, mais pas si célèbre - il est bien connu des théoriciens mais pas si connu dans le sens où il est enseigné aux étudiants de premier cycle - de l'utilisation d'un réseau est de prouver des limites inférieures superpolynomiales sur la taille des circuits monotones Clique informatique pour laquelle Razborov a remporté le prix Nevanlinna . la construction d'origine est cependant très technique et les constructions ultérieures, par exemple Berg / Ulfberg, simplifient le cadre sans faire référence aux treillis.

dans ce cas, la théorie du réseau a été utilisée comme cadre pour découvrir la preuve originale, mais les formulations ultérieures ont eu tendance à ne pas s'y référer directement comme une simplification conceptuelle.

donc oui les réseaux peuvent être considérés comme un objet mathématique plus exotique [Razborov a parlé ailleurs de son style d'application des mathématiques avancées à CS] qui pourrait correspondre à un autre objet plus "concret" dans CS, dans ce cas ce sont des "portes d'approximation" c'est-à-dire des portes booléennes dans des circuits qui donnent des réponses "approximativement correctes" et dont le réseau est une sorte de "structure d'induction" pour convertir entre un circuit exact en un circuit approximatif inexact.

Depuis, j'ai trouvé le papier gratuit Ensembles commandés et treillis complets: une introduction à l'informatique , pour d'autres lecteurs intéressés.

Les étiquettes de bord régulières et les structures associées forment un réseau distributif (voir par exemple ici ). Cela peut être exploité pour rechercher efficacement dans l'espace de toutes les étiquettes de bord régulières pour un graphique donné (voir ici ). En tant qu'application, vous pouvez déterminer si une carte peut être dessinée sous forme de cartogramme avec une certaine affectation de zone pour les visages.

Aussi, étonnamment (pour moi, au moins) la cryptographie . Vérifiez-le, il permet de nouvelles attaques de cryptosystèmes connus et donne de l'espoir pour la cryptographie post-quantique.