Le problème de l'univers pour les automates à guichet unique avec une taille d'alphabet restreinte est-il indécidable?

Considérez le problème d'univers suivant .

Le problème de l'univers. Étant donné un ensemble fini pour une classe de langages, et un automate acceptant le langage L , décidez si L = \ Sigma ^ * .$\Sigma$$L$$L=\Sigma^*$

Dans [1], il est indiqué et prouvé que le problème de l'univers est indécidable pour une classe particulière d'automates à compteur unique. Ce résultat suit ensuite pour la classe de tous les automates à compteur unique non déterministes. Je me demande si l'on sait si ce problème est toujours indécidable quand on restreint la taille de l'alphabet d'entrée de l'automate.

Je pense qu'avec l'alphabet de taille 1, le problème devient décidable, mais qu'en est-il de la taille 2? Et si cela s'avère décidable, quelle est la plus petite valeur de $n \in \mathbb{N}$ telle que le problème est indécidable.

Je pense qu'il est probable que la réponse à cette question soit connue, mais j'ai du mal à trouver une réponse. Si elle est déjà connue, j'apprécierais une référence.

[1] Ibarra, OH (1979). Machines à guichet unique restreintes avec des problèmes d'univers indécidables. Théorie des systèmes mathématiques, 13 (1), 181-186

Il doit être indécidable pour un alphabet à deux symboles. Il est possible de coder n'importe quel alphabet en deux lettres, par exemple, mapper 16 symboles à la longueur 4 chaînes binaires . Ensuite, l'égalité à équivaut à l'égalité à tous les codes possibles pour les chaînes. Dans l'exemple à 16 lettres, cela signifie l'égalité à toutes les chaînes d'un multiple de quatre lettres. De toute évidence, ce n'est pas l'universalité. Cela est obtenu en ajoutant les chaînes binaires qui ne codent pas. C'est un ensemble régulier et peut être généré par un automate à un compteur.$aaaa, aaab, \dots, bbbb$$\Sigma^*$

La même explication, avec pour ceux qui l'apprécient. Supposons que l'universalité est indécidable pour . Soit un morphisme injectif. Maintenant ssi . Ceci est à son tour équivalent à où est le langage régulier (fixe) . Par conséquent, nous ne pouvons pas décider si le langage binaire à compteur unique est universel. Notez que la langue est un compteur car la famille est fermée sous les morphismes et l'union (avec les langues régulières).$\LaTeX$$\Sigma$$h: \Sigma^* \to \{0,1\}^*$$L = \Sigma^*$$h(L) = h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R = \{0,1\}^*$$R$$\{0,1\}^* - h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R$

Comme vous dites "je pense que", je peux également confirmer que la question est décidable pour un alphabet à une lettre. Il est décidable pour les automates déroulants (donc les langues sans contexte) car une lettre CFL est (effectivement) équivalente aux langues normales.