Trouver le plus grand sous-graphique induit sans 3 cliques

Considérez ce problème:

Étant donné un graphique non orienté $G = (V, E)$ , trouver $G' = (V', E')$ tel que:

$G'$ est un sous-graphique induit de $G$

$G'$ n'a pas de 3 cliques

$|V'|$ est maximal

Donc, le moins de sommets doit être éliminé de $G$ afin que les 3 cliques soient éliminées.

Un problème équivalent serait de trouver une coloration 2 pour $G$ de telle sorte que si $(v_1, v_2, v_3) \in V$ et $((v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_1)) \in V$ ,

$(v_1.color == v_2.color \wedge v_2.color == v_3.color \wedge v_3.color == v_1.color) = False$
La différence (absolue) entre le nombre de nœuds de couleur 1 et le nombre de nœuds de couleur 2 est maximale.

Quelqu'un peut-il penser à un algorithme polynomial pour résoudre l'un de ces problèmes?

— Alexandre
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Savez - vous qu'il y est un algorithme polynomial, ou êtes - vous espériez juste pour une?

— Luke Mathieson

Je viens de réaliser que vos deux définitions du problème ne correspondent pas! Le second impose la condition que le sous-graphique induit par

V - V^{'}

$V-V'$ est également sans triangle. Je sais qu'il est NP-Complete de déterminer même si une telle partition existe: cstheory.stackexchange.com/questions/65/h-free-cut-problem . Alors que la description initiale permet le graphe induit de

V - V^{'}

$V-V'$ pour contenir des triangles. Laquelle est la bonne?

— Aryabhata

@LukeMathieson: Je crois que les graphiques de classe o ont des solutions en temps polynomial parce que j'ai atteint le problème ci-dessus à partir du problème suivant qui a une solution en temps polynomial: "Étant donné un ensemble de N intervalles entiers, choisissez le plus possible afin qu'aucun 3 ne se recoupe . "

— Alexandre

@Alexandre: Les graphiques d'intervalle sont spéciaux. Les problèmes NP-Hard bien connus se trouvent dans P, lorsqu'ils sont limités aux graphiques d'intervalle.

— Aryabhata

@Aryabhata: Le sous-graphique induit est G ', et il ne peut pas avoir de 3-cliques. Par conséquent, il ne peut pas avoir de triangles, exactement comme la deuxième description.

— Alexandre

Les deux définitions laissent votre problème NP-difficile et ont été répondues sur cstheory.

L'interprétation 1, où vous avez besoin du plus grand sous-graphique sans triangle, est NP-Difficile et a été répondue ici .
L'interprétation 2, où vous avez besoin d'une partition telle que les deux sous-graphiques induits soient sans triangle, a été répondue ici .

Notez que les réponses que j'ai liées sont générales $H$ -freeness et sont une classe de $NP$ -Difficile problèmes.

— Aryabhata
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