Problème de galets

Le galet est un jeu de solitaire joué sur un graphe non orienté , où chaque sommet a zéro ou plusieurs galets. Un mouvement de caillou unique consiste à retirer deux cailloux d'un sommet et à ajouter un caillou à un voisin arbitraire de . (Évidemment, le sommet v doit avoir au moins deux cailloux avant le déplacement.) Le problème PebbleDestruction demande, étant donné un graphique et un nombre de cailloux pour chaque sommet , s'il y a une séquence de mouvements de galets qui enlèvent tous les galets sauf un. Prouver que PebbleDestruction est NP-complet. $G$ $v$ $v$ $G = ( V; E )$ $p ( v )$ $v$

Tout d'abord, je montre qu'il est en NP car je peux vérifier la solution en temps polynomial, en remontant le nombre de cailloux à partir d'un seul caillou.

Ensuite, quelles sont les idées sur les problèmes à utiliser comme base pour une réduction du temps polynomial?

Est-ce que quelque chose comme la couverture vertex fonctionnerait? Ou une couverture vertex de différentes tailles?

Si oui, comment peut-il gérer le nombre variable de cailloux à chaque mouvement?

Merci.

De: http://courses.engr.illinois.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf

algorithms graph-theory np-complete

— TT
source

Est-il aussi simple de montrer que le problème est en NP? Le nombre de déplacements ne peut-il pas être exponentiel sur la taille d'entrée?

— Vinicius dos Santos

@ViniciusSantos, le nombre de mouvements ne peut pas être supérieur au nombre de cailloux (qui fait également partie de l'entrée).

Mais nous pouvons supposer que le nombre de galets est en binaire, non? Dans ce cas, la taille de l'entrée est logarithmique sur le nombre de galets. Je pense toujours qu'il y a un certificat court pour le problème mais, pour autant que je comprends, la liste des mouvements n'est pas une.

— Vinicius dos Santos

@ViniciusdosSantos, Peut-être que vous n'avez pas remarqué que le graphique entier est en entrée, par contre le nombre de galets pour chaque sommet (p (v)) devrait être limité par la taille du graphique, sinon vérifier si une séquence de mouvements est valide ou non a besoin d'exponentielle. Et je pense qu'il est correct de supposer que le nombre de cailloux sur chaque sommet est au plus n.

Je suis d'accord que si le nombre de cailloux sur chaque sommet est polynomialement limité par la taille du graphe, il est trivialement en NP. Mais je pense que cette hypothèse n'est pas nécessaire, même si sans elle la preuve devient plus difficile.

— Vinicius dos Santos

$G$ $v$ $p(v) = 2$ $G \space iff \space G$ $G$ $v$ $u$ $u$ $G$ $u$ $u$ $u$ $p(u) = 1$ $u=v$ $v$