Transformer une couverture arbitraire en une couverture de vertex

Donné est un graphe planaire et soit dénoter son encastrement dans le plan st chaque arête a la longueur . J'ai en outre un ensemble de points où chaque point est contenu dans . De plus, il tient pour tout point dans qu'il existe un avec une distance géodésique à au plus un. (La distance est mesurée comme la distance la plus courte dans .) $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

Je veux faire valoir que, étant donné un pour lequel la condition ci-dessus est remplie, je peux facilement le transformer en un vertex cover, ou le mettre différemment, le transformer en un de même cardinalité st tout est placé dans à un sommet de et couvre encore . $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

Mon approche consistait à orienter les bords et à déplacer les points en au sommet de l'arc. Mais jusqu'à présent , je ne l' ai pas trouvé une orientation correcte qui donne de . $C$ $C'$ $C$

Est-ce que quelqu'un a une idée?

algorithms graph-theory set-cover

— user695652
source

Je ne comprends pas très bien le problème. Que signifie "

dans

"? Comment mesurez-vous exactement les distances? Si vous voulez dire que

est toujours sur une arête, alors il semble que si vous le mettez à l'une ou l'autre extrémité, alors chaque point à une distance d'au plus

de lui - à savoir les deux extrémités - est toujours à une distance d'au plus

de lui. Pour n'importe quelle orientation.

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— Yuval Filmus

@Yuval Filmus

est un dessin à l'arc jordanien de

, c'est-à-dire un sous-ensemble de

signifie simplement que le point doit être contenu dans le dessin et pas n'importe où dans le plan. La distance est mesurée comme la distance géodésique en

, c'est-à-dire le chemin le plus court reliant deux points du dessin. Pour votre dernière remarque, prenez un cycle de 4 et mettez deux points au milieu du premier et du troisième bord. Cela couvre tout le graphique, mais si vous déplacez maintenant un point à son extrémité de sommet dans le sens des aiguilles d'une montre et un point à son extrémité de sommet dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, il couvre

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

Si aucun point se situent exactement sur le point médian d'un bord en , il suffit d'associer chaque point au sommet le plus proche dans . Je laisserai au lecteur le soin de le prouver (indice: prouver par contradiction). $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

D'un autre côté, si les points en peuvent se situer au milieu des bords, alors nous pouvons fournir un contre-exemple: $C$

entrez la description de l'image ici

Les lignes bleues et les cercles sont et les croix rouges sont . $\mathcal{G}$ $C$

MODIFIÉ POUR AJOUTER: Un exemple avec un graphique biconnecté

entrez la description de l'image ici

— mhum
source

Merci beaucoup pour le contre-exemple. Êtes-vous d'accord que si nous limitons les graphiques à être biconnectés, la revendication est vraie, même si tous les points sont au milieu?

— user695652

Je ne pense pas que la bi-connectivité vous sauvera. J'ai édité ma réponse avec un nouvel exemple.

— mhum

C'est une question assez différente. Il pourrait être judicieux de l'afficher séparément.

— mhum

@mhum Comment avez-vous fait des photos de graphiques? Existe-t-il un programme pour cela?

— Tacet

@Tacet Je ne me souviens pas exactement comment j'ai fait ça. Je pense que le premier pourrait avoir été MS Paint ou GIMP. Le deuxième pourrait être GIMP ou Geogebra.

— mhum