Recherche des chemins les plus courts et les plus longs entre deux sommets dans un DAG

Étant donné un DAG non pondéré (graphique acyclique dirigé) $D = (V,A)$ et deux sommets et , est-il possible de trouver le chemin le plus court et le plus long de à en temps polynomial? Les longueurs de trajet sont mesurées par le nombre d'arêtes.$s$$t$$s$$t$

Je suis intéressé à trouver la gamme de longueurs de trajet possibles en temps polynomial.

Ps., Cette question est un double de la question StackOverflow Chemin le plus long dans un DAG .

Pour le problème de chemin le plus court, si nous ne nous soucions pas des poids, la recherche de largeur en premier est un moyen infaillible. Sinon, l'algorithme de Dijkstra fonctionne tant qu'il n'y a pas de bords négatifs.

Pour le chemin le plus long, vous pouvez toujours faire Bellman-Ford sur le graphique avec tous les poids de bord annulés. Rappelez-vous que Bellman-Ford fonctionne tant qu'il n'y a pas de cycles de poids négatifs, et fonctionne donc avec tous les poids sur un DAG.

$n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

$b := t$

1. $b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. $\min(b)$$\max(b)$

   • $b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

$O(m)$