Vérifier si le classement gagnant-perdant d'une ligue est possible


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Vous organisez une ligue de basket-ball 1 contre 1 avec un calendrier des matchs. À la fin de la ligue, chaque joueur doit déclarer son supposé record de victoires-défaites (il n'y a pas d'égalité), mais vous voulez vérifier si le classement proposé était réellement possible compte tenu du calendrier.

Par exemple: vous avez quatre joueurs (Alice + Bob + Carol + Dave) et votre programme est un simple tournoi à la ronde. Les classements déclarés [ A: 3-0 B: 1-2 C: 1-2 D: 1-2] et [ A: 2-1 B: 1-2 C: 1-2 D: 2-1] seraient possible, mais la position debout [ A: 3-0 B: 0-3 C: 0-3 D: 3-0] ne le serait pas.

Supposons maintenant que le calendrier soit plutôt un match de 3 matchs entre Alice + Bob et Carol + Dave. La position déclarée [ A: 3-0 B: 0-3 C: 0-3 D: 3-0] est maintenant possible, mais [ A: 3-0 B: 1-2 C: 1-2 D: 1- 2] ne le serait plus.

(L'horaire n'a pas besoin d'être symétrique de quelque manière que ce soit. Vous pourriez faire en sorte qu'Alice ne joue contre Bob que 10 fois, puis que Bob + Carol + Dave jouent 58 round robins les uns contre les autres.)

Problème : Étant donné un calendrier avec k participants et n matchs totaux, vérifiez efficacement si un classement gagnant-perdant proposé pourrait réellement se produire à partir de ce calendrier.


Le O (2n), la méthode de la force brute est évidente, énumère tous les résultats possibles du jeu et vérifie s'ils correspondent au classement proposé. Et si k est petit, l'augmentation n n'ajoute pas beaucoup de complexité - il est très facile de vérifier le classement d'une ligue à deux, qu'ils jouent dix matchs ou dix milliards de matchs. Au-delà de cela, je n'ai pas beaucoup progressé dans la recherche d'une meilleure méthode et j'étais curieux de savoir si quelqu'un avait déjà vu un problème similaire auparavant.

Réponses:


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Cela peut être modélisé comme un problème Max-Flow.

En tant qu'étape de prétraitement, assurez-vous que le nombre de parties est égal à la somme du nombre de victoires (sinon, vous savez que quelque chose ne va pas).

Laisser G être un ensemble de sommets correspondant aux jeux joués, et Pun ensemble de sommets correspondant aux joueurs. Laissers et t désignent deux sommets supplémentaires (source et puits).

Maintenant pour chaque jeu gG joué entre p1P et p2P, ajoutez un bord de s à g avec capacité 1 et bords de g à p1 et g à p2 aussi avec capacité 1. Cela modélise le fait que le jeu peut donner un point à l'un ou l'autre joueur.

Alors pour chaque joueur pP ajouter un bord de p à t avec une capacité égale au nombre de victoires déclaré pour le joueur p. Cela modélise le fait que ce joueur devrait gagner au plus ce nombre de parties.

Il est facile de voir d'ici que si les scores rapportés sont possibles, il y aura un flux saturant de s à tet réciproquement. Il vous suffit donc de vérifier si le maximums,t-le débit dans ce graphique est égal au nombre de parties jouées.

Alternativement, vous pouvez également avoir un graphique avec un sommet par partie et un nombre de sommets pour chaque joueur correspondant au nombre de victoires, les connecter de la même manière qu'auparavant et regarder si le nombre d'arêtes dans une correspondance maximale est égal à le nombre de jeux (mais c'est presque la même chose vraiment).


Très agréable! Et plutôt que d'avoir un nœud pour chacun des m jeux séparés entre P1 et P2, pourriez-vous tous les consolider en un nœud (un nœud "série") avec des capacités de bord m au lieu de 1?
ManyCookies

Dans le prétraitement, vous devez également vérifier que le nombre de victoires + défaites signalées par chaque joueur est égal au nombre total de parties jouées par ce joueur.
Ilmari Karonen du

De plus, bien que votre réponse semble techniquement correcte, notez qu'en pratique, la résolution du problème du débit maximal n'est pas nécessaire pour attraper la tricherie simple (où les joueurs ne trichent qu'en réclamant des victoires supplémentaires et / ou moins de pertes; le prétraitement seul attrapera cela) ni suffisant pour attraper une tricherie plus subtile (où, par exemple, Alice perd un match contre Bob, mais ils conviennent tous les deux par la suite de le signaler comme la victoire d'Alice de toute façon; il n'y a aucun moyen de le détecter en utilisant uniquement les données fournies). Mais c'est un problème avec le problème de @ ManyCookies comme indiqué, pas avec votre solution.
Ilmari Karonen du

@ManyCookies: Bien sûr, cela devrait aussi fonctionner :)
Tassle

@IlmariKaronen: Oui, vous pouvez ajouter autant d'étapes de prétraitement que vous voulez pour accélérer les choses dans la pratique, mais celles-ci ne sont pas strictement nécessaires, tandis que l'étape de prétraitement que j'ai proposée visait principalement à faciliter la vérification de la condition de débit maximal (sans elle) vous devrez vérifier que le flux est saturé aux deux extrémités, ce qui se résumerait à cette étape de prétraitement).
Tassle
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