Une FSA peut-elle compter?

Cela peut être une question stupide. Il semble clair qu'une FSA, étant finie, ne peut compter que le nombre de symboles dans sa chaîne d'entrée jusqu'à un nombre limité par le nombre de ses états. Mais supposons maintenant que nous équipons le FSA de capacités de sortie (par exemple, d'impression). Il serait alors très facile de construire une machine capable d'imprimer un symbole pour chaque symbole lu. Est-ce que cela compterait pour compter? Sinon, pourquoi pas?

Pour le dire en termes de FST à la place: je suppose qu'il n'est pas possible de construire un FST capable de mapper une chaîne d'une longueur arbitraire à une représentation binaire (c'est-à-dire un nombre dans le système numérique de base 2) de sa longueur. Mais il est bien sûr trivial de construire un FST capable de mapper une chaîne de longueur arbitraire à une chaîne dedits zéros (ou uns) de même longueur. Mais cela pourrait compter comme comptage, n'est-ce pas, parce que ce que fait le FST est de construire une représentation de la longueur de son entrée. Une représentation un peu étrange, mais toujours une représentation, n'est-ce pas?

Cette question est un peu vague, alors voici une réponse vague: Traduire unaire en unaire ne compte pas exactement, car la machine ne "sait" pas réellement quelle était la taille de l'entrée "à la fin".

Vous vous en rendez compte, bien sûr, c'est pourquoi vous remettez en question le fait que cela compte effectivement.

Cependant, la traduction d'unaire en binaire semble être une opération beaucoup plus avancée, car elle n'implique pas seulement le comptage, elle implique également l'arithmétique.

Alors peut-être la notion la plus précise à regarder, au lieu de compter, est de comparer . Autrement dit, étant donné deux nombres (en unaire) et 1 m , déterminez si n = m .$1^n$$1^m$$n=m$

La capacité de faire cette comparaison est à l'origine de la fameuse langue non régulière . Et l'incapacité d'une NFA à compter est ce qui rend cette langue non régulière.$\{a^nb^n: n\ge 0\}$

Fait intéressant, cette langue est une LFC. Et en effet, le modèle d'automates correspondant - PDA, a la capacité de faire une comparaison limitée.

Lorsque vous parlez de comparer, les transducteurs ne vous donnent plus de puissance supplémentaire, donc la question est résolue dans ce sens.

Une note supplémentaire: de manière tout à fait informelle, la possibilité de comparer deux nombres peut souvent être utilisée pour simuler une machine Minsky à 2 compteurs , qui sont équivalentes aux MT.

Non. Les automates à états finis ne comptent pas. Ils peuvent faire des choses qui leur ressemblent, mais ils ne peuvent pas compter. Ils peuvent même faire de petits calculs (câblés) (comme déterminer si un nombre binaire est divisible par trois ) mais cela ne compte pas.

Une petite histoire. Vous êtes sur une grande place rectangulaire dans une ville célèbre. Les habitants vous disent que la place est en fait carrée. Si vous pouvez compter, vérifiez si les nombres horizontal et vertical de tuiles correspondent en comptant les tuiles le long des côtés du carré. Si vous ne pouvez pas compter, vous pouvez toujours vérifier la réclamation: commencez dans un coin et marchez en diagonale. Si vous atteignez exactement le coin opposé, vous avez un carré.

Dans votre exemple, la fsa teste si une chaîne a un nombre égal de et b en comptant ces nombres sur deux bandes de sortie différentes. Un autre appareil doit faire la comparaison finale, sauf si vous avez une astuce pour gérer les lettres $a$$b$$a$ et par paires et les séparer les unes des autres. Comme sur la place.$b$

Maintenant, un modèle plus formel avec lequel comparer. Selon le théorème de Chomsky – Schützenberger, chaque langage sans contexte est l'inverse d'une transduction à états finis T du langage Dyck D 2 sur deux paires de crochets L = T - 1 ( D 2 ) (il n'est pas dit comme ça sur wikipedia, mais vous devez me croire). Maintenant, le transducteur à états finis T peut "accepter" son langage sans contexte $L$$T$$D_2$$L = T^{-1}(D_2)$$T$$L$ comme suit (pour chaque langue son propre transducteur). Sur l'entrée transforme la chaîne en la série (supposée) de pops et de pushs du pda pour$T$ , puis testez si le résultat est un comportement de refoulement, c'est-à-dire que le résultat est une chaîne dans D 2 D 2 )$L$$D_2$. (Détails techniques omis, mais c'est ce que prétend le théorème de Ch-Sch: on a ssi T ( w ) $w\in T^{-1}(D_2)$$T(w) \in D_2$

Mon point ici est que certains "calculs" sont effectués par le transducteur mais beaucoup de puissance est cachée dans le test avec $D_2$ . De même, votre exemple, où deux lettres sont triées sur deux bandes.

@Shaull: Merci pour votre réponse! Je suis nouveau sur StackExchange et je ne sais pas commenter une réponse, je choisis donc d'écrire une réponse à la place, dans l'espoir d'être pardonné.

Hmm, il me semble qu'un berger comptant ses moutons en écrivant une marque sur une feuille de papier pour chaque mouton qu'il voit, ou un prisonnier comptant les jours où il est en prison en écrivant des marques sur le mur, comptent. Pourquoi n marques sur une feuille de papier ou sur un mur ne seraient-elles pas considérées comme une représentation du nombre n? N'est-ce pas ce qu'on appelle une représentation de pointage? AFAICS, elle n'est en aucun cas inférieure à (disons) une représentation binaire, sauf qu'elle utilise plus d'espace.

Je suppose que pour vous alors, "savoir" signifie qu'il a une représentation interne du compte à la fin. Alors, bien sûr, il est évident qu'une FSA de FST ne peut pas calculer la longueur d'une chaîne arbitraire. Mais si nous n'avons pas besoin de connaissances dans ce sens, mais demandons seulement que le FSA ou le FST soient capables de dire le résultat à un observateur externe, alors il me semble que présenter le décompte dans un format de pointage devrait être correct.

De plus, si un FSA est équipé à la fois d'une entrée et d'une sortie incrémentielles, il devrait en principe pouvoir utiliser son environnement externe comme une mémoire de lecture / écriture, et donc être aussi puissant qu'une machine de Turing. Droite?

Merci d'avoir soulevé le cas de la comparaison. Maintenant, il semble que si nous levons l'exigence d'une représentation interne, et nous demandons seulement que la machine soit capable de présenter le résultat à un observateur externe, alors nous pourrions facilement construire un FSM qui pourrait produire une sorte de présentation graphique du résultat. Supposons que le FSM, lors des lectures "aaaaaabbbbbb" a écrit

000000
000000

puis, comme les barres sont de même longueur, le FSM a accepté la chaîne "aaaaaabbbbbb". Deux barres de même longueur signifient "oui", des longueurs différentes signifient "non".

Je suppose que je plie les règles, mais c'est ce que je veux puisque je m'intéresse aux hypothèses plus ou moins implicites qui sont faites dans le domaine de la linguistique mathématique.

Les FSM peuvent "compter" dans une plage finie / nombre d'étapes signifié par des transitions d'état. cependant, ils ne peuvent pas compter au-delà d'un nombre fini d'étapes.

il y a un sens dans lequel une machine de type FSA peut compter. une machine étroitement apparentée est appelée un transducteur à états finis . le transducteur peut en effet compter au sens d'entrée et de sortie "canalisées". un seul transducteur peut prendre une séquence d'entrée (disons en binaire) et la "transduire" en une séquence de sortie qui est incrémentée. puis on "enchaîne" les transducteurs (identiques) comptés par 1, chacun incrémentant son entrée de 1 et la sortant. c'est aussi comme un "algorithme de streaming" rudimentaire .