Tableau de tri de 5 entiers avec un maximum de 7 compares

Comment puis-je trier une liste de 5 entiers de telle sorte que dans le pire des cas, il faut 7 comparaisons? Je me fiche du nombre d'autres opérations qui sont effectuées. Je ne sais rien de particulier sur les entiers.

J'ai essayé différentes approches de division et de conquête qui me ramènent à 8 comparaisons, comme suivre une approche mergesort ou combiner mergesort avec l'utilisation de la recherche binaire pour trouver la position d'insertion, mais chaque fois que je me retrouve avec 8 compare le pire des cas .

En ce moment, je cherche juste un indice, pas une solution.

algorithms sorting

— Robert S. Barnes
source

Avez-vous essayé d'écrire l'arborescence "comparer à"? Il en a

feuilles, chacune correspondant à une permutation des entiers. Si vous ne savez pas ce que j'entends par l'arborescence "comparer", connaissez-vous la preuve que vous avez besoin de

comparaisons? Ps, qu'est-ce qui vous fait penser que c'est possible?

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— Pål GD

Eh bien, en complément de 8 bits deux, if(x > y)c'est la même chose que if((x - y) & 0x80)ce qui n'est guère comparable. Je suppose que nous devons oublier que les objets sont des entiers et supposer que nous devons utiliser une compare(x, y)fonction magique pour comparer ces objets ...

— Karolis Juodelė

Est-ce que «consultez la section 5.3 sur le tri optimal dans le volume 3 de The Art Of Computer Programming , qui couvre précisément cette question» constitue-t-elle un indice ou une solution? :-)

— Steven Stadnicki

La borne est vraiment que

. Ainsi , il est possible (en principe).

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— vonbrand

connexes: Tri d'un tableau avec un nombre minimal de comparaisons

— Janus Troelsen

Réponses:

Il n'y a qu'une seule façon de démarrer ce processus (et pour presque toutes vos décisions sur ce qu'il faut comparer dans les étapes ultérieures, il n'y en a qu'une seule correcte). Voici comment le comprendre. Tout d'abord, notez qu'il y a réponses possibles que vous pouvez obtenir pour vos comparaisons, et permutations différentes dont vous devez faire la distinction. $2^7 =128$ $5! = 120$

La première comparaison est facile: vous devez comparer deux clés, et comme vous ne savez rien à leur sujet, tous les choix sont également bons. Supposons donc que vous compariez et et que vous trouviez . Il vous reste maintenant réponses possibles, et permutations possibles restantes (puisque nous en avons éliminé la moitié). $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

Ensuite, nous pouvons soit comparer et , soit comparer à l'une des clés que nous avons utilisées dans la première comparaison. Si nous comparons et , et apprenons que $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ , alors nous avons réponses restantes et permutations possibles. D'autre part, sion compare avec , et nous découvrons que , nous avons permutations possibles restantes, parce que nous avons éliminé des permutations possibles (ceux avec $c \leq d$ $32$ $30$ $c$ $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ ). Nous n'avons que réponses possibles, nous n'avons donc pas de chance. $c \leq a \leq b$ $32$

Alors maintenant, nous savons que nous devons comparer les première et deuxième clés et les troisième et quatrième clés. Nous pouvons supposer que nous avons et $a\leq b$ $c \leq d$ . Si l' on compare à l' une de ces quatre touches, par le même argument que nous avons utilisé à l'étape précédente, on peut seulement éliminer des permutations restantes, et nous sommes hors de la chance. Nous devons donc comparer deux des clés . En tenant compte de la symétrie, nous avons deux choix, comparer et ou comparer et $e$ $1/3$ $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ . Un argument de comptage similaire montre que nous devons comparer et . On peut supposer sans perte de généralité que , et maintenant on a et . $a$ $c$ $a \leq c$ $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

Puisque vous avez demandé un indice, je ne passerai pas en revue le reste de l'argument. Il vous reste quatre comparaisons. Utilisez-les judicieusement.

— Peter Shor
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Comment avez-vous obtenu que la comparaison de

ne vous ramène qu'à 40 permutations?

a

$a$

c

$c$

— Robert

@Robert: Supposons que vous ayez

. Il y a alors deux permutations de

cohérentes avec ces contraintes,

. Pour chacune de ces deux permutations, il y a quatre emplacements que vous pouvez ajouter

et cinq emplacements que vous pouvez ajouter

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$

e

$e$

— Peter Shor

Vous pouvez le trouver dans The Art of Computer Programming vol III, par D.Knuth, mais la stratégie est la suivante (je suppose que vous avez un tableau ): Si vous voulez lire un indice juste les deux premières lignes de ma réponse $\{a,b,c,d,e\}$

Premier groupe de paires de nombres: . $(a,b), (c,d)$
Comparez les paires pour les trier, par exemple: . $a<b, c<d$
Comparez les plus petits éléments des paires, nous obtenons un résultat par exemple . $a<c$
Comparez le dernier élément , avec le plus grand élément dans la dernière comparaison ( c )
- Si , est facile de se retrouver avec 3 comparaison restante. Fini. $e<c$
- Si vous devez trier { b , c , d , e } avec la connaissance c < e , c < d .
  - , si d < e alors
    - , si b > d
      - . Fini. $Compare(b,e)$
    - si
      - . Fini. $Compare(b,c)$
  - si
    - si b > e
      - . Fini. $Compare(b,d)$
    - si
      - . Fini. $Compare(b,c)$

Tous les moyens mentionnés ci-dessus sont à l'origine d'au plus trois comparaisons après la première comparaison de avec . (signifie 7 au maximum). $e$ $c$

— George
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Etes-vous sûr que c'est correct? Supposons que vous obteniez les résultats suivants: a <b, c <d, a <c puis c <e, b <e, c <b et d <e. Les ordres a <c <b <d <e et a <c <d <b <e sont tous les deux cohérents avec eux. La raison en est que b et d ne sont jamais comparés, implicitement ou explicitement. Peut-être que je me trompe quelque part, si c'est le cas, corrigez-moi.

— George