Est-ce que deux arbres couvrant un graphe simple ont toujours des bords communs?

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J'ai essayé quelques cas et j'ai trouvé que deux arbres couvrant un graphique simple avaient des bords communs. Je veux dire que je n'ai pas trouvé de contre-exemple jusqu'à présent. Mais je n'ai pas pu prouver ou réfuter cela non plus. Comment prouver ou infirmer cette conjecture?

graphs graph-theory spanning-trees

— M. Sigma.
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Non, considérons le graphique complet $K_4$ :

Il a les arbres s'étendant aux bords disjoints suivants: entrez la description de l'image ici

— Bjørn Kjos-Hanssen
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N

$N$

Z

$Z$

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

14

Pour les lecteurs les plus intéressés, il existe des recherches sur la décomposition du graphique en arbres couvrant les bords disjoints .

$n$ $k$

$K_{4k+2}$ ${2k+1}$

$K_{2n}$

Vous pouvez rechercher plus. Par exemple, une recherche Google pour la décomposition du graphique en plusieurs arbres .

— Apass.Jack
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9

$K_4$

Non, ce n'est pas vrai que deux arbres couvrant un graphe ont des bords communs.

Considérez le graphique de roue:

Vous pouvez créer un arbre couvrant avec des bords "à l'intérieur" de la boucle et un autre à partir de la boucle extérieure.

— Gokul
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3

mais la boucle externe n'atteint pas le nœud central

— amI

Vous avez raison, je vais supprimer cette réponse car l'autre suffit.

— Gokul

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Vous pouvez modifier cela en prenant la boucle de sortie moins un "accord" plus un "rayon" et son complément.

— boboquack

Oui. En fait, je n'avais vu que de cette façon. @boboquack

— M. Sigma.

3

$K_n$ $n\geq4$

$2$

$K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

$2$

$2$ $2$
Y a-t-il un graphique autre que roue ou roue comme sous-graphique ayant des arbres s'étendant avec des bords disjoints?

— M. Sigma.
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Ces questions et au-delà ont été répondues dans les documents que j'ai cités. Si vous êtes intéressé, vous pouvez jeter un œil.

— Apass.Jack

Merci @ Apass.Jack J'ai vu votre réponse. Le regardera.

— M. Sigma.

1

$K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 i}, v_{2 i + 1}), (v_{2 i}, v_{2 i + 2}), \dots, (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 i + 1}, v_{2 i + 2}), (v_{2 i}, v_{2 i}), \dots (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

$0\leq i < k$

$n$ $n+1$

— Accumulation
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0

Si le graphique a un pont (c'est-à-dire un bord dont la suppression déconnecte le graphique), ce bord doit appartenir à chaque arbre couvrant. Intuitivement, un pont est le seul bord reliant ses deux extrémités et appartient donc nécessairement à chaque sous-graphe connecté.

En revanche, si une arête du graphe appartient à un cycle, alors il existe un arbre couvrant ne contenant pas cette arête.

Donc, si chaque bord d'un graphe appartient à un cycle, alors aucun bord n'est commun à tous les arbres s'étendant (c'est-à-dire que l'intersection des ensembles d'arêtes des arbres s'étendant est l'ensemble vide).

— mo2019
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