Écran de verrouillage Android

Intro

Vous êtes assis dans une salle du conseil au bout d'une longue table. Vous regardez autour de vous et voyez Tim Cook, le conseil d'administration d'Apple, le fantôme de Steve Jobs et Jack Donaghy. Apple a convoqué cette réunion parce qu'ils ont réalisé à quel point l'écran de verrouillage Android est plus cool et qu'ils veulent les 1-UP. Tout le monde dans la pièce vous regarde tandis que le fantôme Steve crie: "Aidez-moi, CodeGolf Man! Vous êtes mon seul espoir!"

Le problème

L'écran de verrouillage Android est une grille de points 3 x 3 qui peut être connectée en faisant glisser un doigt d'un point au suivant, créant un chemin. Un mot de passe est considéré comme tout chemin possible qui inclut un nombre quelconque de points et exclut un nombre illimité de points. (Sur un téléphone réel, le chemin doit être d'au moins 4 points. Pour ce défi, ignorez cette restriction.) Apple prévoit de remplacer la grille 3 x 3 par une grille M x N, qui est (M * N) / 9 fois mieux!

Règles:

Par exemple, sur une grille 3x3 avec des points numérotés de 1 à 9:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Certains chemins valides sont:

1
3
7,2,3
1,5,9,2
1,8,6,5,4
4,2,3,5,6,7,8,9
5,9,6,4

Et certains chemins invalides sont:

1,3
1,9,5
7,5,4,7
4,6

Votre entrée sera composée de trois chiffres:

(M,N,d)

Où la grille est M x N, et d est la longueur du chemin

1 <= M <= 16
1 <= N <= 16
1 <= d <= M * N

Votre programme ou fonction recevra l'entrée sous la forme d'une chaîne séparée par des virgules et devra renvoyer le nombre de mots de passe possibles de cette longueur. Par exemple:

Input:  2,2,1 
Output: 4
Input:  2,2,2
Output: 12
Input:  7,4,1
Output: 28

Les règles de golf du code standard s'appliquent, le code le plus court gagne!

//If I've made a mistake or the rules are unclear, please correct me!

Python - 170 octets

from fractions import*
p=lambda m,n,d,l=0,s=set():d<1or sum([p(m,n,d-1,i,s|{i})for i in range(m*n)if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))])

Je me rends compte que les supports à l'intérieur sum([...])ne sont pas strictement nécessaires, mais il y a une grande pénalité de performance pour ne pas les inclure.

Sortie pour tous les 3x3:

for i in range(4, 10):
  print p(3, 3, i)

Produit:

1624
7152
26016
72912
140704
140704

À des fins de test / confirmation, les 6 premières valeurs pour une carte 4x5:

20
262
3280
39644
459764
5101232

4x5 est un cas intéressant à vérifier, car il a des sauts de cheville 2x2, 3x3 et 2x4.

Brève explication

En général, il s'agit d'une recherche exhaustive, avec élagage cumulatif. Par exemple, parce que p(3, 3, 4)est 1624, p(3, 3, 5)ne vérifiera que 8120 posibilités, plutôt que de vérifier naïvement tous les 15120. La plupart de la logique est contenue dans la condition:

if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))

En clair, cela peut être compris comme:

If no pegs have been used yet
     OR
   the target peg has not yet been used
     AND
   each of the pegs directly between the target peg and the
   current peg (a.k.a. "jumped over") have already been used