9

Problème

Étant donné une valeur n, imaginez un paysage de montagne inscrit dans une référence (0, 0) à (2n, 0). Il ne doit pas y avoir d'espaces blancs entre les pentes et la montagne ne doit pas descendre en dessous de l'axe x. Le problème à résoudre est: étant donné n (qui définit la taille du paysage) et le nombre k de pics (k toujours inférieur ou égal à n), combien de combinaisons de montagnes sont possibles avec k pics?

Contribution

n qui représente la largeur du paysage et k qui est le nombre de pics.

Production

Juste le nombre de combinaisons possibles.

Exemple

Étant donné n = 3 et k = 2, la réponse est 3 combinaisons.

Juste pour donner un exemple visuel, ils sont les suivants:

   /\     /\      /\/\
/\/  \   /  \/\  /    \

sont les 3 combinaisons possibles en utilisant 6 (3 * 2) positions et 2 pics.

Modifier: - plus d'exemples -

n  k  result
2  1  1
4  1  1
4  3  6
5  2  10

Condition gagnante

la norme code-golfles règles s'appliquent. La soumission la plus courte en octets l'emporte.

code-golf combinatorics recursion

— combinaisonsD
source

4

Est-ce la même chose que «trouver le nombre d'expressions de npaires de parenthèses correspondantes qui contiennent exactement des kinstances de ()»?

— xnor

4

https://oeis.org/A001263 ?

— xnor

@xnor oui c'est le cas.

— Jonathan Allan

4

Vous pouvez mettre à jour le défi avec un titre plus explicite tel que Compute Narayana Numbers .

— Arnauld

Pouvez-vous confirmer si une entrée avec kzéro doit être gérée ou non? Dans l'affirmative, faut-il gérer une entrée négale à zéro (avec kégalement zéro par définition)?

— Jonathan Allan

7

Python, 40 octets

f=lambda n,k:k<2or~-n*n*f(n-1,k-1)/~-k/k

Essayez-le en ligne!

Utilise la récurrence $a_{n,1} = 1$ , $a_{n,k} = \frac{n(n-1)}{k(k-1)}a_{n-1,k-1}$ .

— Anders Kaseorg
source

6

Gelée , 7 octets

cⱮṫ-P÷⁸

Essayez-le en ligne!

Prend l'entrée comme nalors k. Utilise la formule

$N(n,k)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}$

que j'ai trouvé sur Wikipedia .

cⱮṫ-P÷⁸
c        Binomial coefficient of n and...
 Ɱ       each of 1..k
  ṫ-     Keep the last two. ṫ is tail, - is -1.
    P    Product of the two numbers.
     ÷   Divide by
      ⁸  n.

7 octets

Chaque ligne fonctionne seule.

,’$c@P÷
c@€ṫ-P÷

Prend l'entrée comme kalors n.

7 octets

cⱮ×ƝṪ÷⁸

Merci à Jonathan Allan pour celui-ci.

— dylnan
source

Attendez ... la queue est automatiquement définie comme 2 chiffres? (Je ne connais pas du tout Jelly, juste une question idiote)

— Quintec

@Quintec Il existe deux fonctions de queue. Un ( Ṫ) qui prend juste le dernier élément d'un seul argument et celui que j'ai utilisé ( ṫ) qui prend deux arguments. Le premier argument est une liste et le second est un nombre (dans mon cas -1représenté par un -dans le code) qui vous indique le nombre d'éléments à enregistrer. Ayant -1Citez deux éléments a été la façon de définir golfiestṫ

— dylnan

Gotcha, merci! Je vois comment la gelée a été construite pour le golf ... hehe

— Quintec

1

Une autre variante pour 7 f (n, k):cⱮ×ƝṪ÷⁸

— Jonathan Allan

4

JavaScript (ES6), 33 30 octets

Enregistré 3 octets grâce à @Shaggy

Prend l'entrée comme (n)(k).

n=>g=k=>--k?n*--n/-~k/k*g(k):1

Essayez-le en ligne!

Implémente la définition récursive utilisée par Anders Kaseorg .

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 octets

Prend l'entrée comme (n)(k).

n=>k=>k/n/(n-k+1)*(g=_=>k?n--/k--*g():1)()**2

Essayez-le en ligne!

Calcule:

{une}_{n, k} = \frac{1}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) (\binom{n}{k - 1}) = \frac{1}{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{k - 1}) = \frac{1}{n} {(\binom{n}{k})}^{2} \times \frac{k}{n - k + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

Dérivé de A001263 (première formule).

— Arnauld
source

-3 octets avec curry.

— Shaggy

@Shaggy Doh ... Merci. La révision # 7 ressemble finalement à la révision # 1. : p

— Arnauld

3

Wolfram Language (Mathematica) , 27 octets

Trois versions, toutes de même longueur:

(b=Binomial)@##b[#,#2-1]/#&

Binomial@##^2#2/(#-#2+1)/#&

1/(Beta[#2,d=#-#2+1]^2d##)&

Essayez-le en ligne!(Juste la première version, mais vous pouvez copier et coller pour essayer les autres.)

Tous ces éléments sont une sorte de variante sur

\frac{n! (n - 1)!}{k! (k - 1)! (n - k)! (n - k - 1)!}

$\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!(n-k-1)!}$ qui est la formule qui circule. J'espérais arriver quelque part avec la fonction bêta, qui est une sorte de réciproque binomiale, mais il y avait alors trop de divisions.

— Misha Lavrov
source

2

J , 17 11 octets

]%~!*<:@[!]

Essayez-le en ligne!

Prend ncomme argument de droite, kcomme argument de gauche. Utilise la même formule que la réponse Jelly de dylnan et la solution APL de Quintec.

Explication:

            ] - n  
           !  - choose
       <:@[   - k-1
      *       - multiplied by
     !        - n choose k
   %~         - divided by
  ]           - n

— Galen Ivanov
source

2

APL (Dyalog), 19 18 16 12 octets

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣

Merci à @Galen Ivanov pour -4 octets

Utilise l'identité dans la séquence OEIS. Prend k à gauche et n à droite.

TIO

— Quintec
source

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣pour 12 octets , argument inversé

— Galen Ivanov

@GalenIvanov Merci, mon APL tacite est extrêmement faible

— Quintec

Mon APL n'est pas bon, j'en ai juste profité pour l'essayer, après ma solution J :)

— Galen Ivanov

1

Rubis , 50 octets

->l,n{eval [[*n..l]*2*?*,l,n,[*1..l-=n]*2,l+1]*?/}

Essayez-le en ligne!

— GB
source

1

Lisp commun , 76 octets

(defun x(n k)(cond((= k 1)1)(t(*(/(* n(1- n))(* k(1- k)))(x(1- n)(1- k))))))

Essayez-le en ligne!

— JRowan
source

Vous pouvez économiser 2 octets en supprimant les espaces après \ et après x

— Galen Ivanov

1

Remerciements juste mis à jour

— JRowan

Suggérer à la (*(1- x)x)place de(* x(1- x))

— plafondcat

1

Perl 6 , 33 octets

{[*] ($^n-$^k X/(2..$k X-^2))X+1}

Essayez-le en ligne!

Utilise la formule

{une}_{n, k} = (\binom{n - 1}{k - 1}) \times \frac{1}{k} (\binom{n}{k - 1}) = \prod_{je = 1}^{k - 1} (\frac{n - k}{je} + 1) \times \prod_{je = 2}^{k} (\frac{n - k}{je} + 1)

$a_{n,k}=\binom{n-1}{k-1}\times\frac{1}{k}\binom{n}{k-1}=\prod_{i=1}^{k-1}(\frac{n-k}{i}+1)\times\prod_{i=2}^{k}(\frac{n-k}{i}+1)$

Explication

{[*]                            }  # Product of
     ($^n-$^k X/                   # n-k divided by
                (2..$k X-^2))      # numbers in ranges [1,k-1], [2,k]
                             X+1   # plus one.

Version alternative, 39 octets

{combinations(|@_)²/(1+[-] @_)/[/] @_}

Essayez-le en ligne!

Utilise la formule de la réponse d'Arnauld:

{une}_{n, k} = \frac{1}{n} {(\binom{n}{k})}^{2} \times \frac{k}{n - k + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

— nwellnhof
source

0

Gelée , 8 octets

,’$c’}P:

Un lien dyadique acceptant nà gauche et kà droite ce qui donne le compte.

Essayez-le en ligne!

— Jonathan Allan
source

0

Stax , 9 octets

ÇäO╪∙╜5‼O

Exécuter et déboguer

J'utilise la formule de Dylnan dans Stax.

Décompressé, non golfé et commenté, le programme ressemble à ceci.

        program begins with `n` and `k` on input stack
{       begin block for mapping
  [     duplicate 2nd element from top of stack (duplicates n)
  |C    combinatorial choose operation
m       map block over array, input k is implicitly converted to [1..k]
O       push integer one *underneath* mapped array
E       explode array onto stack
*       multiply top two elements - if array had only element, then the pushed one is used
,/      pop `n` from input stack and divide

Exécutez celui-ci

— récursif
source

0

APL (NARS), 17 caractères, 34 octets

{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}

tester:

  f←{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}
  (2 f 1)(4 f 1)(4 f 3)(5 f 2)    
1 1 6 10

— RosLuP
source

Différentes combinaisons possibles

Python, 40 octets

Gelée , 7 octets

JavaScript (ES6), 33 30 octets

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 octets

Wolfram Language (Mathematica) , 27 octets

J , 17 11 octets

Explication:

APL (Dyalog), 19 18 16 12 octets

Rubis , 50 octets

Lisp commun , 76 octets

Perl 6 , 33 octets

Explication

Version alternative, 39 octets

Gelée , 8 octets

Stax , 9 octets

APL (NARS), 17 caractères, 34 octets