Python 2.7
Cette approche tire parti des considérations suivantes:
Tout entier peut être représenté comme une somme de puissances de deux. Les exposants aux pouvoirs de deux peuvent également être représentés comme des pouvoirs de deux. Par exemple:
8 = 2^3 = 2^(2^1 + 2^0) = 2^(2^(2^0) + 2^0)
Ces expressions avec lesquelles nous nous retrouvons peuvent être représentées comme des ensembles d'ensembles (en Python, j'ai utilisé le intégré frozenset):
0devient l'ensemble vide {}.2^adevient l'ensemble contenant l'ensemble représentant a. Par exemple: 1 = 2^0 -> {{}}et 2 = 2^(2^0) -> {{{}}}.a+bdevient la concaténation des ensembles représentant aet b. Par exemple,3 = 2^(2^0) + 2^0 -> {{{}},{}}
Il s'avère que les expressions du formulaire 2^2^...^2peuvent facilement être transformées en leur représentation d'ensemble unique, même lorsque la valeur numérique est beaucoup trop grande pour être stockée sous forme d'entier.
Pour n=20, cela s'exécute en 8.7s sur CPython 2.7.5 sur ma machine (un peu plus lent en Python 3 et beaucoup plus lent en PyPy):
"""Analyze the expressions given by parenthesizations of 2^2^...^2.
Set representation: s is a set of sets which represents an integer n. n is
given by the sum of all 2^m for the numbers m represented by the sets
contained in s. The empty set stands for the value 0. Each number has
exactly one set representation.
In Python, frozensets are used for set representation.
Definition in Python code:
def numeric_value(s):
n = sum(2**numeric_value(t) for t in s)
return n"""
import itertools
def single_arg_memoize(func):
"""Fast memoization decorator for a function taking a single argument.
The metadata of <func> is *not* preserved."""
class Cache(dict):
def __missing__(self, key):
self[key] = result = func(key)
return result
return Cache().__getitem__
def count_results(num_exponentiations):
"""Return the number of results given by parenthesizations of 2^2^...^2."""
return len(get_results(num_exponentiations))
@single_arg_memoize
def get_results(num_exponentiations):
"""Return a set of all results given by parenthesizations of 2^2^...^2.
<num_exponentiations> is the number of exponentiation operators in the
parenthesized expressions.
The result of each parenthesized expression is given as a set. The
expression evaluates to 2^(2^n), where n is the number represented by the
given set in set representation."""
# The result of the expression "2" (0 exponentiations) is represented by
# the empty set, since 2 = 2^(2^0).
if num_exponentiations == 0:
return {frozenset()}
# Split the expression 2^2^...^2 at each of the first half of
# exponentiation operators and parenthesize each side of the expession.
split_points = xrange(num_exponentiations)
splits = itertools.izip(split_points, reversed(split_points))
splits_half = ((left_part, right_part) for left_part, right_part in splits
if left_part <= right_part)
results = set()
results_add = results.add
for left_part, right_part in splits_half:
for left in get_results(left_part):
for right in get_results(right_part):
results_add(exponentiate(left, right))
results_add(exponentiate(right, left))
return results
def exponentiate(base, exponent):
"""Return the result of the exponentiation of <operands>.
<operands> is a tuple of <base> and <exponent>. The operators are each
given as the set representation of n, where 2^(2^n) is the value the
operator stands for.
The return value is the set representation of r, where 2^(2^r) is the
result of the exponentiation."""
# Where b is the number represented by <base>, e is the number represented
# by <exponent> and r is the number represented by the return value:
# 2^(2^r) = (2^(2^b)) ^ (2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^b * 2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^(b + 2^e))
# r = b + 2^e
# If <exponent> is not in <base>, insert it to arrive at the set with the
# value: b + 2^e. If <exponent> is already in <base>, take it out,
# increment e by 1 and repeat from the start to eventually arrive at:
# b - 2^e + 2^(e+1) =
# b + 2^e
while exponent in base:
base -= {exponent}
exponent = successor(exponent)
return base | {exponent}
@single_arg_memoize
def successor(value):
"""Return the successor of <value> in set representation."""
# Call exponentiate() with <value> as base and the empty set as exponent to
# get the set representing (n being the number represented by <value>):
# n + 2^0
# n + 1
return exponentiate(value, frozenset())
def main():
import timeit
print timeit.timeit(lambda: count_results(20), number=1)
for i in xrange(21):
print '{:.<2}..{:.>9}'.format(i, count_results(i))
if __name__ == '__main__':
main()
(Le concept du décorateur de mémorisation est copié à partir de http://code.activestate.com/recipes/578231-probably-the-fastest-memoization-decorator-in-the-/ .)
Production:
8.667753234
0...........1
1...........1
2...........1
3...........2
4...........4
5...........8
6..........17
[...]
19.....688366
20....1619087
Timings pour différents n:
n time
16 0.240
17 0.592
18 1.426
19 3.559
20 8.668
21 21.402
Toute valeur nsupérieure à 21 entraîne une erreur de mémoire sur ma machine.
Je serais intéressé si quelqu'un pouvait rendre cela plus rapide en le traduisant dans une autre langue.
Edit: optimisé la get_resultsfonction. En outre, l'utilisation de Python 2.7.5 au lieu de 2.7.2 l'a rendu un peu plus rapide.
2^n, et il serait donc inutile de garder une trace de tout saufn. C'est-à-dire, le simple fait d'utiliser les règles d'exponentiation semble sage. Cependant, il existe certainement une manière plus intelligente et complètement algébrique de le faire.