Edit: cela ne fonctionne pas car j'ai oublié les chèques découverts. Cependant, je pense que ces progrès sont notables, je vais donc laisser la réponse ici.
La répétition est impossible.
Premièrement, il ne peut évidemment pas y avoir de mouvement de pion, de roque ou de capture.
Ensuite, je prétends qu'il ne peut pas y avoir de mouvements de roi. Pour le prouver, notez qu'un coup de roi ne peut donner de chèque que s'il s'agit d'un chèque découvert. Donc, pour qu'un mouvement de roi donne un échec, les deux rois doivent être alignés, qu'ils soient verticaux, horizontaux ou diagonaux. Compte tenu de la position de l'un des rois, l'ensemble des carrés sur lequel l'autre roi peut se trouver afin qu'il puisse vérifier est l'ensemble des carrés dans la même ligne avec le roi et non pas le même carré que le roi ou les carrés à côté de ce carré. Il n'y a pas deux de ces cases adjacentes, donc le roi ne peut pas passer d'une case à l'autre en une seule fois. Notez que les carrés A et B sont dans une ligne si et seulement si les carrés B et A sont dans une ligne, donc une fois que l'un des rois se déplace, ils ne sont plus dans une ligne, donc aucun autre mouvement de roi ne peut donner échec. Donc, il y a au plus un mouvement de roi dans le cycle,
Par conséquent, il ne peut pas y avoir de contrôle de chevalier, sinon le roi devrait se déplacer ou le chevalier devrait être capturé.
Par conséquent, tous les mouvements sont des mouvements par pièces, ce qui signifie qu'ils doivent tous bloquer les vérifications précédentes.
Pour toute métrique sur l'ensemble des carrés de l'échiquier, supposons qu'il soit vrai que, pour tout ensemble de positions pour les rois K1 et K2 et tout carré A qui est dans une ligne (verticale, horizontale ou diagonale) avec le roi, aucun carré de blocage B ne peut augmenter la somme des distances du carré à chacun des rois (c'est-à-dire d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2 )). Ensuite, la somme des distances à chacun des carrés des rois doit rester constante tout au long du cycle.
Il est facile de vérifier que les métriques suivantes satisfont à cette propriété: d (A, B) = | row (A) -row (B) | d (A, B) = | colonne (A) -colonne (B) | d (A, B) = | pente1diagonal (A) -slope1diagonal (B) | (J'entends par là numéroter les diagonales qui sont parallèles à la diagonale A1H8 de 1 à 15) d (A, B) = | pente-1 diagonale (A)-pente-1 diagonale (B) | (Identique à la précédente, mais parallèle à l'autre diagonale)
En fait, il est facile de voir que, pour l'une des métriques ci-dessus, si le carré de blocage ne se trouve pas dans les deux lignes parallèles de ces métriques (par exemple pour la première métrique, dans le rectangle avec les côtés faits par les rangées de chacun des les rois et les colonnes sur les côtés du tableau), la somme des distances diminuera avec le prochain carré de blocage. Ce qui serait une contradiction, de sorte que les carrés de blocage sont limités à l'intérieur de chacune des lignes parallèles limites.
Si les deux rois sont sur la même ligne, colonne ou diagonale, l'utilisation de l'argument du paragraphe ci-dessus montre que tous les carrés de blocage doivent être dans cette ligne, colonne ou diagonale, clairement impossible.
Par conséquent, si nous considérons les positions du roi comme deux sommets opposés d'un rectangle avec des côtés parallèles aux côtés de la carte, en utilisant les deux premières mesures, tous les carrés de blocage doivent être dans ou sur le rectangle de délimitation. L'utilisation des deux autres métriques nous permet de réduire cela à un parallélogramme englobant.
Notez que les seuls carrés de blocage possibles sont ceux qui sont des intersections des rangées, des colonnes et des diagonales à travers chacun des carrés des rois car ils doivent donner un chèque à l'autre roi et bloquer un chèque. Il est facile de voir qu'il y a toujours 2 carrés de blocage possibles dans le parallélogramme englobant: les deux autres sommets du parallélogramme. Mais alors, si nous avons une pièce de contrôle dans chacun (ce qui est nécessaire), alors il n'y a pas de carrés à déplacer pour donner un contrôle, contradiction.