La limite de clé est de trois mois. Cela n'a rien à voir avec Schengen mais fait partie du droit général de l'UE. En tant que tel, il s'applique également en dehors de l'espace Schengen (c'est-à-dire au Royaume-Uni, en Irlande, en Roumanie, en Bulgarie, à Chypre, en Croatie - et à la Suisse via un accord distinct qui a été mis en œuvre avant même que le pays ne fasse partie de l'espace Schengen).
Même dans les pays où il n'y a pas de formalité particulière pour vous inscrire, les séjours de plus de 3 mois ne suivent pas les mêmes règles. Vous avez un droit très fort de voyager à des fins touristiques et de rester moins de 3 mois, mais pas de droit inconditionnel de séjourner ailleurs dans l'UE pendant plus de 3 mois (voir cette réponse à une autre question pour la base juridique de cette distinction).
Dans la plupart des endroits, vous n'avez rien à faire pour les courts séjours, mais même si cela vous donne le droit de visiter d'autres pays, le droit de l'UE n'interdit pas strictement l'obligation de signaler votre présence, même si vous n'avez pas l'intention de devenir résident. Europa.eu fournit des informations pratiques à ce sujet, mais même ce site (basé sur les informations soumises par les États membres eux-mêmes) est incomplet et parfois vague, il est donc difficile de savoir exactement quelles sont les exigences pays par pays.
Notez également que la résidence est souvent définie par l'intention et par d'autres facteurs comme l'emplacement du «centre de vos intérêts» (revenu, propriété, famille…). La résidence ne commence donc pas nécessairement après l'expiration des trois premiers mois et ne dépend pas uniquement de la durée du séjour.
Par exemple, si vous vendez votre maison en France, déplacez vos affaires en Allemagne et louez un appartement là-bas, vous devez vous inscrire dans une semaine ou deux après avoir déménagé dans votre nouvelle maison, même si vous faites attention à ne jamais dépenser plus que trois mois dans le pays. En revanche, si vous avez une maison en France et séjournez dans un hôtel en Allemagne pendant deux mois, vous ne serez probablement pas considéré comme un résident.
Si vous faisiez la même chose dans l'autre sens (c'est-à-dire que vous déménagez en France), vous ne seriez pas obligé de vous inscrire du tout (parce que ce n'est pas nécessaire en France en premier lieu) mais vous seriez toujours considéré comme un résident à partir de la date à laquelle vous effectivement entré dans le pays (et pourrait par exemple avoir à payer des impôts sur cette base).