Juridiquement parlant, vous avez besoin d'un passeport valide ou d'un document de voyage équivalent pour franchir n'importe quelle frontière d'un État Schengen, qu'il s'agisse d'une frontière intérieure ou extérieure de l'espace Schengen. Je ne trouve pas de liste de documents de voyage équivalents pour la France, mais celui pour l'Italie ne répertorie que des alternatives «exotiques» - documents pour les réfugiés, pour les marins, etc. (les ressortissants d'un pays de l'UE et quelques autres n'ont besoin que d'une carte d'identité ).
Dans la pratique, les frontières à l'intérieur de l'espace Schengen ne sont pas équipées pour des contrôles systématiques et il y a de fortes chances que vous passiez par là sans même remarquer que vous avez passé la frontière. Il y a (ou il y avait) des contrôles occasionnels pour le trafic de drogue sur la route des Pays-Bas vers la France; Je doute que ce soit un problème si tout ce que vous pouvez montrer est un permis de conduire. Il vaut mieux que vous ayez votre permis de séjour et une photocopie de votre passeport - avec ces documents, il serait exceptionnel d'avoir des ennuis.
Pour autant que je sache, il n'y a pas de sanction directe pour ne pas avoir de pièce d'identité en France. (Je sais que pour les nationaux; je pense que c'est également vrai pour les non-nationaux.) Il y a une obligation que vous devez être en mesure de prouver votre identité sur demande (techniquement, la demande doit être justifiée, mais dans la pratique un policier peut trouver toujours un prétexte). En tant que non-ressortissant, vous devrez également prouver votre droit d'être là, sinon vous pourriez être détenu et expulsé. Encore une fois, avec une preuve d'identité comme un permis de conduire et une copie de votre passeport et de votre permis de séjour, il est très peu probable que vous ayez des ennuis.
La seule chose que vous ne pouvez pas faire de manière fiable sans passeport est la mouche. Toutes les compagnies aériennes commerciales exigent un passeport (ou une carte d'identité), même pour les vols intérieurs Schengen. Souvent, ils ne vérifient pas, mais s'ils le font, ils ne vous laisseront probablement pas monter à bord du vol si vous n'avez pas de documents acceptables pour eux.