La notion de distance euclidienne, qui fonctionne bien dans les mondes bidimensionnels et tridimensionnels étudiés par Euclide, a des propriétés dans les dimensions supérieures qui sont contraires à notre (peut-être juste mon ) intuition géométrique qui est aussi une extrapolation de deux et trois dimensions.
Considérons un carré de avec des sommets à . Tracez quatre cercles d'unités de rayon centrés sur . Celles-ci "remplissent" le carré, chaque cercle touchant les côtés du carré en deux points et chaque cercle touchant ses deux voisins. Par exemple, le cercle centré en
touche les côtés du carré en et , et les cercles voisins en et . Ensuite, dessinez un petit cercle centré à l'origine( ± 2 , ± 2 ) ( ± 1 , ± 1 ) ( 1 , 1 ) ( 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) r 2 = √4 × 4( ± 2 , ± 2 )( ± 1 , ± 1 )( 1 , 1 )( 2 , 1 )( 1 , 2 )( 1 , 0 )( 0 , 1 )cela touche les quatre cercles. Puisque le segment de droite dont les extrémités sont les centres de deux cercles osculants passe par le point d’oscillation, il est facile de vérifier que le petit cercle a un rayon
et qu’il touche les quatre plus grands cercles . Notez que le petit cercle est "complètement entouré" par les quatre plus grands cercles et est donc complètement à l'intérieur du carré. Notez également que le point se trouve sur le petit cercle. Notez également que depuis l'origine, on ne peut pas "voir" le point sur le bord du carré car la ligne de mire passe par le point d'oscillation des deux cercles centrés à(±r2/ √r2= 2-√- 1(r2,0)(2,0,0)(1,0,0)(1,1)(1,-1)( ± r2/ 2-√, ± r2/ 2-√)( r2, 0 )( 2 , 0 , 0 )( 1 , 0 , 0 )( 1 , 1 ) et . Idem pour les lignes de mire aux autres points où les axes passent par les bords du carré.( 1 , - 1 )
Ensuite, considérons un cube avec des sommets à
. Nous le remplissons avec sphères osculatrices de rayon unité centrées à , puis mettons une sphère osculante plus petite centrée à l'origine. Notez que la petite sphère a un rayon
et que le point se trouve à la surface de la petite sphère. Mais remarquez aussi qu'en trois dimensions, on peut "voir" le point
4 × 4 × 4( ± 2 , ± 2 , ± 2 )8( ± 1 , ± 1 , ± 1 )r3= 3-√- 1 < 1( r3, 0 , 0 )( 2 , 0 , 0 )de l'origine; il n'y a pas de plus grandes sphères plus grandes bloquant la vue comme cela se produit dans deux dimensions. Ces lignes de vision dégagées depuis l'origine jusqu'aux points où les axes passent à travers la surface du cube se retrouvent également dans toutes les plus grandes dimensions.
En généralisant, on peut considérer un -dimensionnelle hypercube du côté
et le remplir avec osculatrices hypersphères unité de rayon centré à , puis mettre un « petit » sphère de rayon
à l’origine. Le point
se situe sur cette sphère "plus petite". Mais notez de que lorsque , et que la "petite" sphère a un rayon unitaire et ne mérite donc pas vraiment le soubriquet de "plus petit" pourn42n(±1,±1,…,±1)
rn=n−−√−1(1)
( 1 ) n = 4(rn,0,0,…,0)(1)n=4rn=1n≥4. En fait, il serait préférable que nous l'appelions la "plus grande sphère" ou simplement "la sphère centrale". Comme indiqué dans le dernier paragraphe, il existe un champ de vision dégagé entre l'origine et les points où les axes passent à travers la surface de l'hypercube. Pire encore, quand , on a que , et donc le point
de la sphère centrale
se situe en dehors de l'hypercube du côté
alors qu'il est "complètement entouré" par les hypersphères unité-rayon qui "remplissent" l'hypercube (dans le sens de le tasser).n>9(1)rn>2(rn,0,0,…,0)4 La sphère centrale "se gonfle" à l'extérieur de l'hypercube dans un espace de grande dimension. Je trouve cela très contre-intuitif car mes traductions mentales de la notion de distance euclidienne en dimensions supérieures, en utilisant l’intuition géométrique que j’ai développée à partir de l’espace 2 et de l’espace 3 que je connais bien, ne décrivent pas la réalité de la réalité. espace de grande dimension.
Ma réponse à la question du PO "D'ailleurs, qu'est-ce que les" grandes dimensions "?" est .n≥9