Théorème d'espérance totale pour les processus de Poisson

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J'ai deux processus de Poisson indépendants et avec les taux d'arrivée et , respectivement. Maintenant, l'heure prévue pour l'arrivée de l'élément suivant pour le processus fusionné doit être . $A$ $B$ $\lambda_A$ $\lambda_B$ $\frac {1}{\lambda_A+\lambda_B}$

En supposant que soit l'heure d'arrivée pour l'élément suivant du processus combiné, et ou comme les événements que les éléments proviennent des processus ou , en utilisant la loi des attentes totales, nous obtenons $T_{A+B}$ $\{X=A\}$ $\{X=B\}$ $A$ $B$

\begin{aligned} E (T_{A + B}) & = E (T_{A + B} ∣ X = A) P [X = A] + E (T_{A + B} ∣ X = B) P [X = B] \\ = {\frac{1}{λ}}_{A} \frac{λ_{A}}{λ_{A} + λ_{B}} + {\frac{1}{λ}}_{B} \frac{λ_{B}}{λ_{A} + λ_{B}} \\ = \frac{2}{λ_{A} + λ_{B}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(T_{A+B}) &= \mathbb{E}( T_{A+B} \mid X =A )\mathbb{P}[X = A] + \mathbb{E}( T_{A+B}\mid X =B)\mathbb{P}[X = B]\\ &= \frac 1\lambda_A \frac {\lambda_A}{\lambda_A+\lambda_B} + \frac 1\lambda_B\frac {\lambda_B}{\lambda_A+\lambda_B} \\ &= \frac {2}{\lambda_A+\lambda_B} \end{align}$ Qu'est-ce que je fais mal? Merci.

conditional-probability poisson-process

— user90476
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La question semble être que l'espérance conditionnelle n'est pas fois que vous savez que la première arrivée est de processus .

E [T ∣ X = A]

${\rm E}[T \mid X = A]$

1 / a

$1/a$

A

$A$

— Heropup

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@heropup Merci pour la réponse. Étant donné la distribution exponentielle de la prochaine heure d'arrivée, je ne sais pas pourquoi elle ne devrait pas être .

\frac{1}{λ_{A}}

$\frac {1}{\lambda_A}$

— user90476

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heropup a raison. Le problème est qu'une fois que vous savez que , est non seulement tirés de l'exponentielle avec le taux puisque vous savez aussi que la valeur de l' échantillon devait être assez petit pour gagner la comparaison avec l'hypothétique valeur échantillonnée de . $X=A$ $X$ $\lambda_A$ $B$

Ainsi, la densité étant donné que est le produit ponctuel renormalisé de la densité d'une exponentielle avec le taux et le cdf droit d'une exponentielle avec le taux . Cela donne une densité exponentielle avec le taux . Donc: $X=A$ $\lambda_A$ $\lambda_B$ $\lambda_A + \lambda_B$

\begin{aligned} E (T_{A + B}) & = E (T_{A + B} ∣ X = A) P [X = A] + E (T_{A + B} ∣ X = B) P [X = B] \\ = \frac{1}{λ_{A} + λ_{B}} \frac{λ_{A}}{λ_{A} + λ_{B}} + \frac{1}{λ_{A} + λ_{B}} \frac{λ_{B}}{λ_{A} + λ_{B}} \\ = \frac{1}{λ_{A} + λ_{B}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(T_{A+B}) &= \mathbb{E}( T_{A+B} \mid X =A )\mathbb{P}[X = A] + \mathbb{E}( T_{A+B}\mid X =B)\mathbb{P}[X = B]\\ &= \frac 1{\lambda_A+\lambda_B} \frac {\lambda_A}{\lambda_A+\lambda_B} + \frac 1{\lambda_A+\lambda_B}\frac {\lambda_B}{\lambda_A+\lambda_B} \\ &= \frac {1}{\lambda_A+\lambda_B} \end{align}$ comme vous le souhaitez.

— Neil G
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\begin{aligned} Pr (T_{A + B} > t ∣ X = A) \\ = & \frac{Pr (T_{A + B} > t & X = A)}{Pr (X = A)} \\ (1) & = & \frac{Pr (t < T_{A} < T_{B})}{Pr (X = A)}, \end{aligned}

$\begin{align} & \Pr( T_{A+B} > t \mid X=A) \\[10pt] = {} & \frac{\Pr(T_{A+B} > t\ \&\ X=A)}{\Pr(X=A)} \\[10pt] = {} & \frac{\Pr(t < T_A < T_B)}{\Pr(X=A)}, \tag 1 \end{align}$

${}$

\begin{aligned} and & Pr (t < T_{A} < T_{B}) \\ = & \int_{t}^{\infty} (\int_{u}^{\infty} e^{- λ_{A} u} e^{- λ_{B} v} (λ_{B} d v)) (λ_{A} d u) \\ = & \int_{t}^{\infty} e^{- λ_{A} u} e^{- λ_{B} u} (λ_{A} d u) = e^{- (λ_{A} + λ_{B}) t} \cdot \frac{λ_{A}}{λ_{A} + λ_{B}} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{and } & \Pr(t < T_A < T_B) \\[10pt] = {} & \int_t^\infty \left( \int_u^\infty e^{-\lambda_A u} e^{-\lambda_B v} (\lambda_B\, dv) \right) (\lambda_A \, du) \\[10pt] = {} & \int_t^\infty e^{-\lambda_A u} e^{-\lambda_B u} (\lambda_A\,du) = e^{-(\lambda_A+\lambda_B)t} \cdot \frac{\lambda_A}{\lambda_A + \lambda_B}. \end{align}$ Par conséquent, l'expression sur la ligne est égale à qui est la même que

(1)

$(1)$

e^{- (λ_{A} + λ_{B}) t},

$e^{-(\lambda_A + \lambda_B)t},$

Pr (T_{A + B} > t) .

$\Pr(T_{A+B} > t).$

Ainsi, les événements et sont en fait indépendants. $[T_{A+B} >t]$ $[X=A]$

— Michael Hardy
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