Que faire si les probabilités ne sont pas égales dans la "règle .632?"

Cette question est dérivée de celle-ci à propos de la "règle .632". J'écris avec une référence particulière à la réponse / notation de user603 dans la mesure où cela simplifie les choses.

Cette réponse commence par un échantillon de taille avec remplacement, à partir de éléments distincts dans la collection (appelez-le) N. La probabilité que l' échantillon soit différent d'un élément particulier de N est alors$n,$$n$$i^{th}$$s_i$$m$$(1 - 1/n).$

Dans cette réponse, tous les éléments de N ont une chance égale d'être tirés au hasard.

Ma question est la suivante: supposons plutôt que dans la question ci-dessus les éléments à dessiner soient tels qu'ils soient normalement distribués. Autrement dit, nous subdivisons la courbe normale standard de à en (disons) 100 sous-intervalles de longueur égale. Chacun des 100 éléments de N a une probabilité d'être dessinée qui est égale à la zone sous-tendue par la courbe dans son intervalle respectif.$Z = -4$$Z = 4$

Ma pensée était la suivante:

Le raisonnement est similaire à celui de la réponse liée, je pense. La probabilité que , avec un élément de N, soit dans laquelle est la probabilité de dessiner$s_i \ne m$$m$$P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$$F_i$$s_i.$

La probabilité qu'un élément particulier m soit dans l'échantillon S de taille n est

= 1 - n ∏ 1 ( 1 - F i )

$$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$$ $$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$$

Un calcul semble montrer qu'à mesure que la longueur des sous-intervalles devient petite, la réponse converge vers le même nombre que dans le premier cas (probabilités de toutes égales).$s_i$

Cela semble contre-intuitif (pour moi) car la construction semble inclure des éléments de N qui sont rares, donc je m'attendrais à un nombre inférieur à 0,632.

Aussi, si cela est correct, je suppose que nous aurions

$$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$$

que je ne sais pas encore être vrai ou faux.

Edit: Si c'est vrai, cela en généraliserait probablement.

Merci pour toutes informations.

La question porte sur le comportement limitatif des

$$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$$

lorsque croît et que uniformément de telle sorte que (a) tous sont non négatifs et (b) ils se résument à l'unité. (Ceux-ci découlent de la construction du et des axiomes de probabilité.)$n$$F_i$ $F_i$

Par définition, ce produit est l'exponentielle de son logarithme:

$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$$

Le théorème de Taylor (avec la forme de Lagrange du reste) , appliqué à , établit que$\log$

$$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$$

pour certains dans l'intervalle . En d'autres termes, ces logarithmes sont égaux à jusqu'à des termes qui sont au plus fois . Mais lorsque est assez grand pour garantir que tous les sont plus petits que certains donnés (une condition assurée par le retrait uniforme des ), alors (b) implique et donc$\phi_i$$[0, F_i]$$-F_i$ $1/2$$F_i^2$$n$$F_i$$\epsilon\gt 0$$F_i$$n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

$$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$$

par conséquent

$$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$$

serre le logarithme entre deux séquences convergeant vers . Puisque est continu, le produit converge vers l'exponentielle de cette limite, . par conséquent$-1$$\exp$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$$\exp(-1)$

$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$$

QED .

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Un examen plus approfondi de cette analyse établit que l'erreur dans cette approximation (qui sera toujours une borne inférieure ) n'est pas plus grande que Par exemple, la division d'une distribution normale standard en tranches entre et produit un maximum près du mode , où il sera approximativement égal à l'aire d'un rectangle, . La limite précédente établit que la valeur de la formule sera à de sa valeur limite. L'erreur réelle est un ordre de grandeur moins,

$$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$$ $n=400$$-4$$4$$F_i$$0$$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$$(1)$$0.011$$0.001041$ . Voici le calcul dans R(auquel nous pouvons faire confiance car aucun des n'est vraiment petit par rapport à ):$f_i$$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

En effet, 1 - prod(1-f)est alors que est .$0.6331615\ldots$$1-\exp(-1)$$0.6321206\ldots$