Échantillonnage de Gibbs pour le modèle d'Ising

Question de devoirs:

Prenons le modèle d'Ising 1-d.

Soit . vaut -1 ou +1 $x = (x_1,...x_d)$ $x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Concevez un algorithme d'échantillonnage gibbs pour générer des échantillons approximativement à partir de la distribution cible $\pi(x)$ .

Ma tentative:

Choisissez au hasard des valeurs (-1 ou 1) pour remplir le vecteur $x = (x_1,...x_{40})$ . Alors peut-être $x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$ . C'est donc $x^0$ .

Alors maintenant, nous devons continuer et faire la première itération. Nous devons dessiner séparément les 40 x différents pour $x^1$ . Donc...

Dessinez $x_1^1$ partir de $\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Dessinez $x_2^1$ partir de $\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

Dessinez $x_3^1$ partir de $\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Etc..

Donc, la partie qui me fait trébucher est de savoir comment puiser dans la distribution conditionnelle. Comment $\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$ entre en jeu? Peut-être qu'un exemple d'un tirage au sort clarifierait les choses.

— Collin
source

Regardez d'abord ce cas. Suppression de termes qui ne dépendent pas de , nous l'avons. $x_1$

π (x_{1} ∣ x_{2}, \dots, x_{d}) = \frac{π (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{d})}{π (x_{2}, \dots, x_{d})} \propto e^{x_{1} x_{2}}

$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$

P (X_{1} = - 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{- x_{2}}}{C}

$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$

P (X_{1} = 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{x_{2}}}{C}

$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$

\frac{e^{- x_{2}}}{C} + \frac{e^{x_{2}}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_{2}

$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Généralisez-le à (prenez note des différences; voir le commentaire d'Ilmari ci-dessous). $x_2,\dots,x_{40}$

Pouvez-vous utiliser les résultats analytiques d'Ising pour vérifier votre simulation?

— Zen
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Ainsi, il finit par ne dépendre que de la valeur immédiatement antérieure dans le vecteur, c'est-à-dire que le seul terme qui dépend de est , le seul terme qui dépend de est , etc. de ? Comment la dessiner puisque la distribution conditionnelle ne semble s'appliquer que pour à 39?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{23}

$x_{23}$

x_{24}

$x_{24}$

x_{40}

$x_{40}$

i = 1

$i=1$

— Collin

@ user2079802: Non, pour à vous obtenez deux termes dans l'exposant: . Mais il est encore assez facile d'évaluer cela pour .

x_{2}

$x_2$

x_{39}

$x_{39}$

π (x_{i} ∣ x_{1}, \dots, x_{i - 1}; x_{i + 1}, \dots, x_{d})

$\pi(x_i\mid x_1,\dotsc,x_{i-1}; x_{i+1},\dotsc,x_d)$

\propto

$\propto$

\exp (x_{i - 1} x_{i} + x_{i} x_{i + 1})

$\exp(x_{i-1} x_i+x_i x_{i+1})$

x_{i} = \pm 1

$x_i=\pm1$

— Ilmari Karonen