Quelle est la probabilité qu'un bookmaker évalue mal les cotes des matchs de football?

Une équipe de football anglaise joue une série de matchs contre différents adversaires de capacités variables. Un bookmaker propose des cotes pour chaque match, qu'il s'agisse d'une victoire à domicile, d'une victoire à l'extérieur ou d'un match nul. À mi-chemin de la saison, l'équipe a joué $n$ matchs et en a tiré $k$ , ce qui est plus que ce à quoi on pourrait s'attendre de la cote.

Quelle est la probabilité que le bookmaker évalue mal les cotes de ces matchs, plutôt que d'être simplement malchanceux? Si le bookmaker continue de fixer le prix des matchs restants de l'équipe de la même manière, et que je parie 1 $\$1$ que chacun sera un match nul, quel est mon rendement attendu?

La réponse à votre question dépend étroitement des informations et des hypothèses que vous allez utiliser. En effet, le résultat d'un jeu est un processus extraordinairement compliqué. Cela peut devenir arbitrairement compliqué en fonction des informations dont vous disposez sur:

1. Joueurs d'une équipe particulière - peut-être même des combinaisons particulières de joueurs peuvent être pertinentes.
2. Joueurs dans d'autres équipes
3. Histoire passée de la ligue
4. La stabilité des joueurs de l'équipe - les joueurs continuent-ils d'être sélectionnés et abandonnés, ou est-ce la même 11.
5. Le moment où vous placez votre pari (pendant le jeu? Avant? Combien avant? Quelles informations sont perdues du pari avant au pari du jour?)
6. une autre caractéristique pertinente du football que j'ai omis.

Les cotes qu'un libraire donne ne reflètent pas les cotes des libraires. ce qui est impossible s'il s'agit de probabilités. Un bookmaker ajustera les cotes quand quelqu'un parie sur un tirage, et les ajuste quand quelqu'un parie sur un non-tirage. Ainsi, les cotes sont le reflet des cotes des joueurs (qui utilisent ce libraire) dans leur ensemble. Ce n'est donc pas le bookmaker qui fait une erreur de tarification en soi, c'est le collectif de jeu - ou le "joueur moyen".

$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

Et nous voulons calculer ce qui suit

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

où

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

est la partie postérieure de . Maintenant, dans ce cas, il est assez évident qu'il est possible qu'un tirage se produise, et aussi qu'il ne se produise pas, donc un prior uniforme est approprié (sauf s'il y a des informations supplémentaires que nous souhaitons inclure au-delà des résultats de la saison) ) et nous fixons . Le postérieur est alors donné par une distribution bêta (où est la fonction bêta )$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

Étant donné et la probabilité que la prochaine correspondance soit nulle est juste donc l'intégrale devient:$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

et donc la probabilité est juste:

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

Mais notez que cela dépend de - les hypothèses qui ont été faites. Appelez - les « chances » prix d' une condition de probabilité sur une autre information complexe inconnue, par exemple . Donc, si les cotes publiées sont différentes de la fraction ci-dessus, cela signifie que et conduisent à des conclusions différentes, donc les deux ne peuvent pas avoir raison sur le "vrai résultat" (mais les deux peuvent être corrects en fonction des hypothèses que chacun a faites) ).$A$$B$$A$$B$

THE KILLER BLOW

Cet exemple a montré que la réponse à votre question se résumait à décider si était «plus précis» que dans la description des mécanismes du match de football. Cela se produit indépendamment de ce que la proposition se trouve être . Nous nous résumerons toujours à la question de savoir "à qui sont les bonnes hypothèses, celle du collectif de jeu ou la mienne?" Cette dernière question est une question fondamentalement sans réponse jusqu'à ce que vous sachiez exactement en quoi consiste la proposition (ou du moins certaines de ses principales caractéristiques). Car comment pouvez-vous comparer quelque chose qui est connu avec quelque chose qui ne l'est pas?$A$$B$ $A$ $B$

MISE À JOUR: Une réponse réelle :)

Comme @whuber l'a effrontément souligné, je n'ai pas vraiment donné de valeur attendue ici - donc cette partie complète simplement cette partie de ma réponse. Si l'on devait supposer que est vrai avec une cote de prix de , alors vous vous attendriez, dans le prochain jeu, à recevoir $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Maintenant, si vous supposez que la valeur de est basée sur le même modèle que le vôtre, nous pouvons prédire exactement comment va évoluer dans le futur. Supposons que était basé sur un autre avant l'uniforme, disons , alors la probabilité correspondante est$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

avec retour attendu de

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

Maintenant, si nous faisons le "poids antérieur" où est la durée de la saison (cela permettra au "tarif erroné" de continuer pendant le reste de la saison) et mettre le retour attendu à zéro on obtient:$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

(REMARQUE: sauf s'il s'agit du modèle réel, dépendra du moment où ce calcul a été effectué, car il dépend de qui variera au fil du temps). Maintenant, nous pouvons prédire comment sera ajusté à l'avenir, il ajoutera au dénominateur pour chaque match et au numérateur si le match était un match nul. Les cotes attendues après le premier match sont donc:$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

C'est que les chances ne changeront pas beaucoup au cours de la saison. En utilisant cette approximation, nous obtenons le rendement attendu pour le reste de la saison:

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Mais rappelez-vous que cela est basé sur le modèle trop simpliste d'un tirage au sort (remarque: cela ne signifie pas nécessairement que ce sera un prédicteur de «merde»). Il ne peut y avoir de réponse unique à votre question, car il n'y a pas de modèle spécifié et aucune information préalable spécifiée (par exemple, combien de personnes utilisent ce bookmaker? Quel est le chiffre d'affaires du bookmaker? Comment mes paris influenceront-ils les cotes qu'ils évaluent?). La seule chose qui a été spécifiée est les données d'une saison, et que pour "certains modèles non spécifiés" les probabilités sont incompatibles avec celles impliquées par les cotes.

Les bookmakers utilisent un dépassement afin qu'ils ne se soucient pas vraiment du résultat car ils gagnent quoi que ce soit. C'est pourquoi vous ne rencontrez jamais un pauvre bookmaker. Si un bookmaker fait une erreur de tarification, votre capacité à réaliser des bénéfices dépendra des cotes que le bookmaker offrait et si les bénéfices générés couvriraient les temps que vous perdez.