Carré de distribution normale avec variance spécifique

Quelle est la distribution du carré d'une variable aléatoire normalement distribuée avec ? Je sais est un argument valable pour la mise au carré d'une distribution normale standard , mais qu'en est-il du cas de la variance non unitaire? $X^2$ $X\sim N(0,\sigma^2/4)$
$\chi^2(1)=Z^2$

distributions normal-distribution

— CodeTrek
source

Pourquoi ne pas simplement calculer cela directement à partir de l'équation normale, puis tracer la fonction résultante?

Je cherche une explication théorique ici ...

— CodeTrek

Écrivez

... ou de manière équivalente

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

. Peux-tu le faire maintenant?

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b -Reinstate Monica

? Donc, rien de fantaisie chi carré non centré?

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$

— CodeTrek

Tant que la moyenne est

, pas de chi carré non central; distribution de

échelle de la vanille, comme le souligne Glen_b.

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— Dilip Sarwate

Pour fermer celui-ci:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

avec

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Alecos Papadopoulos
source

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

X

$X$

Oh, ça m'a manqué! Lisez trop vite! Excuses

— Euler_Salter

@Euler_Salter De plus, la variable standardisée suit une distribution chi , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Vous devez le mettre au carré pour obtenir un chi carré.

— Alecos Papadopoulos