Homoscédasticité conditionnelle vs hétéroscédasticité

De l' économétrie , par Fumio Hayashi (Chpt 1):

Homoskedasticité inconditionnelle:

Le deuxième moment des termes d'erreur E (εᵢ²) est constant à travers les observations
La forme fonctionnelle E (εᵢ² | xi) est constante à travers les observations

Homoskedasticité conditionnelle:

La restriction selon laquelle le deuxième moment des termes d'erreur E (εᵢ²) est constant à travers les observations est levée
- Ainsi, le second moment conditionnel E (εᵢ² | xi) peut différer d'une observation à l'autre en fonction d'une éventuelle dépendance à xᵢ.

Alors, ma question:

En quoi l'homoscédasticité conditionnelle diffère-t-elle de l'hétéroscédasticité?

Ma compréhension est qu'il y a une hétéroscédasticité lorsque le deuxième moment diffère selon les observations (xᵢ).

— Alec
source

Peut-être que cela vous aidera: www2.econ.iastate.edu/classes/econ674/falk/…

— whuber

Il y a un léger problème en ce que la conférence dit "Par conséquent, l'homoscédasticité conditionnelle implique une homoskédasticité inconditionnelle" en contradiction avec le livre Econometrics. Ils semblent conditionner des choses différentes.

— Henry

@Henry Il est difficile de dire à partir de la présente question quelles définitions sont exactes et lesquelles ne le sont pas - certaines d'entre elles ne semblent pas avoir de sens par rapport au contexte du manuel. Des éclaircissements seraient les bienvenus.

— whuber

Je vais commencer par citer simplement Hayashi pour aider quiconque souhaite faire un commentaire. J'ai essayé de conserver le formatage et les numéros d'équation d'origine.

Commencez la citation de Hayashi page 126, section 2.6:

Homoskédasticité conditionnelle versus inconditionnelle

L'hypothèse d'homoscédasticité conditionnelle est:

\begin{aligned} (2.6.1) & E (ϵ_{je}^{2} | X_{je}) = σ^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$

E (ϵ_{i}^{2})

$E(\epsilon_i^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

Fin du devis.

\begin{aligned} (1.1.12) & E (ϵ_{je}^{2} | X) = σ^{2} > 0 (je = 1, 2, \dots, n) \\ (1.1.17) & E (ϵ_{je}^{2} | X_{je}) = σ^{2} > 0 (je = 1, 2, . \dots, n) . \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$ $i$ $E(\epsilon_i^2)$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $\mathbf x_i$

[Pas d'autres citations de Hayashi, juste ma compréhension après ce point.]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$ $\epsilon_i$ $\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$ ; Les exemples 2.6 (page 127) illustrent cela. Il répond peut-être aussi à la question du chevauchement entre homo et hétéroskédasticité: il donne un exemple où il existe une homoskédasticité inconditionnelle ainsi qu'une hétéroskédasticité conditionnelle.

Ce sont des concepts déroutants, en particulier sans beaucoup d'expérience avec les attentes / distributions conditionnelles, mais j'espère que cela ajoute de la clarté (et des sources pour toute discussion future).

— David M Kaplan
source

Il pourrait être utile de résumer ces exemples ici pour clarifier plus complètement la distinction entre ces concepts déroutants.

— gung - Rétablir Monica