Quelle est la fonction d'autocorrélation d'une série chronologique résultant du calcul d'un écart-type mobile?

Supposons que j'ai une série chronologique d'observations et que je calcule une mesure de la variance de cette série chronologique sous la forme de l'écart-type (SD) dans une fenêtre mobile de largeur et que cette fenêtre est déplacée par pas de temps uniques sur la série. Supposons en outre que , où est le nombre d'observations, et que la fenêtre est alignée à droite; Je dois observer les valeurs de la série avant de commencer à produire des estimations de fenêtre mobile de l'écart-type de la série chronologique. $w$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$ $n$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$

Existe-t-il une forme attendue pour l'ACF de la nouvelle série chronologique de valeurs SD? Je suppose que la dépendance des valeurs précédentes se rapportera à la fenêtre avec , mais l'ACF d'une telle série est-il lié à l'ACF d'un processus ? $w$ $\mathrm{MA}(w)$

Contexte

J'essaie de réfléchir aux implications de la dérivation d'une série temporelle de la variance de la série temporelle d'origine via des fenêtres mobiles. Après avoir calculé la série dérivée de valeurs SD, l'étape suivante qui est généralement appliquée consiste à voir s'il y a une certaine tendance dans la série dérivée de valeurs SD. Comme chaque valeur de la série dérivée dépend dans une certaine mesure des valeurs précédentes de la série d'origine, les valeurs de la série dérivée ne sont pas indépendantes. Ainsi, une question qui revient fréquemment est de savoir comment expliquer ce manque d'indépendance.

De tels calculs (les fenêtres mobiles) sont souvent effectués sur des séries chronologiques pour rechercher des preuves d'indicateurs (augmentation de la variance, augmentation du coefficient AR (1)) de la réponse seuil imminente (transitions dites critiques).

time-series autocorrelation moving-window

— Gavin Simpson
source

Connaît-on la dépendance dans la série sur laquelle l'écart-type mobile est calculé? Est-ce le vous mentionnez? (ce n'est pas vraiment clair si c'est destiné à se référer à la série originale ou à la série SD, du moins pas à moi).

MA (w)

$\text{MA}(w)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Nous pourrions adapter un à la série d'origine, mais je me demandais plus si, parce que la série d'origine est en fait résiduelle après que toute tendance a été estimée et supprimée, en calculant la moyenne dans la fenêtre mobile (dans de la même manière que je l'ai décrit ci-dessus pour le SD) donnerait quelque chose comme un processus MA et donc s'il y avait un lien similaire tel que le déplacement-SD aurait ACF avec des propriétés similaires au processus MA (corrélations signifiables à des retards allant jusqu'à ) .

m a t h r m M A (q)

$mathrm{MA}(q)$

q

$q$

— Gavin Simpson

Après avoir fait un peu plus de lecture de fond sur les modèles pour la variance d'une série, je me demande si ce ne serait pas mieux tout simplement pour s'adapter à ce modèle que de se soucier des bits de la fenêtre mobile. Un modèle (G) ARCH ou de volatilité stochastique semble approprié pour cela pour le moment, mais je ne sais pas comment montrerait que la variance a augmenté avec l'un de ces modèles? Mais c'est pour un Q & A différent. Toujours très intéressé par toutes les réflexions sur le Q ici, car il s'agit assez souvent de rechercher des signaux d'alerte précoce d'une transition imminente en écologie.

— Gavin Simpson

C'est une question très intéressante, mais vous semblez déjà avoir au moins autant de perspicacité que je pourrais offrir sans passer beaucoup de temps à jouer avec - et probablement même après cela. Peut-être que l'une des séries chronologiques pourrait avoir plus à offrir.

— Glen_b -Reinstate Monica

Pouvons-nous supposer que la série originale est formée de variables aléatoires gaussiennes (normales)?

— Alecos Papadopoulos

L'ACF de l'écart-type de roulement ne peut généralement pas être obtenu à partir de l'ACF de la série chronologique, car l'écart-type de roulement est fondamentalement un filtre non linéaire.

Pour éviter les effets de limites, prenez $(X_t)_{t \in\mathbb{Z}}$ être un processus stationnaire doublement infini avec une moyenne de 0. Si je comprends bien le calcul de la fenêtre mobile, nous introduisons l'estimateur de la variance mobile

s_{t}^{2} = \sum_{je = 0}^{w} \frac{1}{w + 1} X_{t - je}^{2},

$s_t^2 = \sum_{i=0}^w \frac{1}{w+1} X_{t-i}^2,$ qui est une moyenne mobile vers l'arrière du processus au carré . L'écart type, étant

s_{t} = \sqrt{s_{t}^{2}}

$s_t = \sqrt{s_t^2}$ , est encore plus un filtre non linéaire. cependant,

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ est un filtre linéaire causal du processus au carré, et son ACF peut donc être dérivé de l'ACF de

(X_{t}^{2})_{t \in Z}

$(X_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ . Si la série chronologique est une séquence de variables iid, le processus au carré l'est aussi, auquel cas

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ est un MA

(w)

$(w)$ processus avec tous les poids égaux à

1 / (w + 1)

$1/(w+1)$ . En utilisant un modèle ARCH (1), nous pouvons, d'autre part, trouver un exemple où le processus lui-même est un processus de bruit blanc, mais pas le processus au carré. En fait, pour le modèle ARCH (1), l'ACF pour le processus au carré coïncide avec l'ACF pour un processus AR (1), auquel cas l'ACF pour la variance de roulement est le même que pour une moyenne mobile d'un AR (1 ).

De toute évidence, les calculs ci-dessus sont idéalisés, car nous utiliserions probablement aussi une moyenne mobile dans la pratique pour centrer la série chronologique. À mon avis, cela gâcherait encore plus les calculs explicites.

Avec des hypothèses explicites sur la série temporelle (structure ARCH ou distribution gaussienne), il y a une certaine chance que vous puissiez calculer l'ACF pour le processus au carré, et à partir de cela l'ACF pour la variance glissante.

À un niveau plus qualitatif, la variance de roulement et l'écart-type de roulement hériteront de l'ergodicité et de diverses propriétés de mélange de la série temporelle elle-même. Ceci est utile si vous souhaitez appliquer des outils généraux à partir d'analyses de séries temporelles (non linéaires) et de processus stochastiques pour évaluer si l'écart-type glissant est stationnaire (ce qui, je crois, présente un intérêt).

— NRH
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