Distribution de la convolution des variables normales au carré et chi carré?

le problème suivant est apparu récemment lors de l'analyse des données. Si la variable aléatoire X suit une distribution normale et Y suit une distribution $\chi^2_n$ (avec n ddl), comment $Z = X^2 + Y^2$ distribué? Jusqu'à présent, je suis venu avec le pdf de $Y^2$ :

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

ainsi que quelques simplifications pour l'intégrale de convolution ( a le pdf avec m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Quelqu'un voit-il un bon moyen de calculer cette intégrale pour tout t réel ou doit-il être calculé numériquement? Ou est-ce que je manque une solution beaucoup plus simple?

— Leo Szilard
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Si le

n'était pas au carré, j'aurais des conseils spécifiques. Je ne pense pas que celui-ci sera traitable (ni nécessairement particulièrement éclairant même s'il devait se révéler traitable). Je serais tenté d'examiner des approches informatiques, comme la convolution numérique ou la simulation, selon exactement ce que vous voulez faire avec le résultat.

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

Il est très peu probable à mon avis que l'intégrale puisse être réalisée.

— Dave31415

@ Dave31415 Pour

pair, l'intégrale peut être explicitement calculée pour les valeurs intégrales positives de

. Il équivaudra à une combinaison linéaire d'exponentielles et de fonctions d'erreur avec des coefficients qui sont des polynômes en

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

. L'évaluation peut être effectuée via la substitution

. Par exemple, avec

nous obtenons

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$ .

— whuber

Nice. For odd numbers, you could probably approximate it with the average of the result for bounding even numbers? Or maybe not.

— Dave31415

Thanks for your replies! For some even-even cases I got a similar result involving Dawson's function, but it looks like I'll have to do some more work for a general solution...

— Leo Szilard

In case it helps, the variable $Y^2$ is a generalised gamma random variable (see e.g., Stacy 1962). Your question is asking for the distribution of the sum of a chi-squared random variable and a generalised gamma random variable. To my knowledge, the density of the resultant variable has no closed form expression. Hence, the convolution you have obtained is an integral with no closed form solution. I think you're going to be stuck with a numerical solution for this one.

Stacy, E.W. (1962). A Generalization of the Gamma Distribution. Annals of Mathematical Statistics 33(3), pp. 1187-1192.

— Reinstate Monica
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This is a hint only. Pearson type III can be Chi-squared. Sometimes a convolution can be found by convolving something with itself. I managed to do this for convolving ND and GD, for which I convolved a Pearson III with itself. How this works with ND $^2$ and Chi-Squared, I am not sure. But, you asked for hints, and this is a general hint. That should be enough to get you started, I hope.

— Carl
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Could you explain how this answers the question? It doesn't seem directly related.

— whuber

Pearson type III convolution with itself can be done. For some reason convolving one thing with itself is easier to solve than convolving one thing with another. For example, I solved the convolution of Pearson type III and obtained the convolutions of ND with GD, a related problem.

— Carl

Doesn't seem to have helped, will delete shortly.

— Carl