Convergence dans la distribution \ CLT

Étant donné que , la distr conditionnelle. de est . a une distr marginale. de Poisson ( ), est une constante positive. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Montrez que, comme , dans la distribution. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Quelqu'un pourrait-il suggérer des stratégies pour résoudre ce problème? Il semble que nous devons utiliser CLT (Central Limit Theorem) mais il semble difficile d'obtenir des informations sur seul. Y a-t-il un RV qui peut être introduit pour prendre un échantillon de, pour générer ? $Y$ $Y$

Ce sont des devoirs, donc des conseils appréciés.

— user42102
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Cela ressemble aussi à un truc pour moi. Peut-être que c'est déjà évident pour vous, mais en tant que théta-> Infinity qu'arrive-t-il à N?

— PeterR

Dois-je regarder la distribution de N? Si je joue avec, il semble que son pdf sera toujours 0. Que puis-je en déduire?

— user42102

quelle est la moyenne d'une variable aléatoire poisson (thêta)?

— PeterR

J'ai mélangé le N dans cette question et la taille de l'échantillon n dans la définition de CLT. Donc . On voit donc que la valeur attendue de N se rapproche de l'infini. Je ne sais pas où aller à partir d'ici cependant.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

Vous devriez examiner la distribution non centrale du chi carré. Cependant, prouver que la limite est normale va être plus compliqué qu'une simple application du CLT.

— caburke

Réponses:

Je propose une solution basée sur les propriétés des fonctions caractéristiques, qui sont définies comme suit Nous savons que la distribution est définie uniquement par la fonction caractéristique, je vais donc prouver que

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

et de là découle la convergence souhaitée.

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Pour cela, je devrai calculer la moyenne et la variance de , pour lesquelles j'utilise la loi des attentes / variance totales - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

J'ai utilisé que la moyenne et la variance de la distribution de Poisson sont

et la moyenne et la variance de

sont

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

. Vient maintenant le calcul avec des fonctions caractéristiques. Au début, je réécris la définition de

comme

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ J'utilise maintenant le théorème qui dit

La fonction caractéristique de

est

, qui est tiré d'ici:

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

$Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
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Cela peut être démontré via la relation avec la distribution non centrale du ciseau. Il y a un bon article wikipedia sur ce que je vais citer librement! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

$Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

$Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ va à zéro, donc la masse ponctuelle à zéro disparaît (la variable chisquared avec zéro degré de liberté doit être interprétée comme une masse ponctuelle à zéro, donc, n'a pas de fonction de densité).

$k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
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