Exemple de CLT lorsque les moments n'existent pas

Soit $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Je dois montrer que même si cela a des moments infinis,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

J'ai essayé de le montrer en utilisant le théorème de continuité de Levy, c'est-à-dire que j'ai essayé de montrer que la fonction caractéristique du côté gauche converge vers la fonction caractéristique de la normale standard. Cependant, cela semblait impossible à montrer.

Un conseil fourni pour ce problème était de tronquer chaque , c'est-à-dire de laisser et d'utiliser la condition de Lindeberg pour montrer que . $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

Cependant, je n'ai pas pu démontrer que la condition de Lyapunov est remplie. C'est principalement parce que ne se comporte pas comme je le souhaiterais. Je voudrais que ne prenne que les valeurs -1 et 1, cependant, de la façon dont il est construit, il peut prendre les valeurs $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
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Si vous tronquez à , vérifiez soigneusement le dernier paragraphe pour les valeurs que la variable tronquée peut prendre. Dans tous les cas, essayez plutôt de tronquer à , utilisez Borel-Cantelli puis Slutsky pour obtenir le résultat. Vous devriez pouvoir utiliser Lindeberg ou Lyapunov sur la pièce tronquée (même si je n'ai pas vraiment vérifié cela).

n

$n$

1

$1$

— Cardinal

Désolé pour ça. Changé en moments "infinis"

— Greenparker

@cardinal Je suis passé en revue les valeurs possibles que peut reprendre et j'ai ajouté un plancher au terme du journal. Sinon, les valeurs semblent correctes. Si je tronque à 1, j'obtiendrai les valeurs que je veux pour et pourra appliquer la condition de Lindeberg pour obtenir la convergence vers la normale. Cependant, je ne vois pas comment cela impliquera une convergence vers la normale pour le

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

Qu'est-ce que " "? Vous n'avez pas décrit de contexte dans lequel il existe des échantillons ou plusieurs instances de chaque , d'où - étant donné ce qui est indiqué dans la question - la seule lecture possible de cette notation est qu'elle se réfère à la moyenne de , qui est toujours infini et est un nombre, pas une distribution. Nous devons donc imaginer que vous envisagez iid des échantillons de , mais vous devez nous le dire et vous devez en particulier préciser quelles sont les tailles des échantillons.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

Voici une réponse basée sur le commentaire de @ cardinal:

Soit l'espace échantillon celui des chemins des processus stochastiques et , où nous laissons . La condition de Lindeberg (conforme à la notation de Wikipedia ) est satisfaite, pour: pour tout as chaque fois que $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

Nous avons aussi que par Borel-Cantelli puisque sorte que . , et ne diffèrent que très souvent et presque sûrement. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

Définissez et de manière équivalente pour . Choisissez un exemple de chemin de tel que uniquement pour un nombre fini de . Indexez ces termes par . Exige également de ce chemin que les soient finis. Pour un tel chemin, où . De plus, pour suffisamment grand , $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

En utilisant le résultat de Borel-Cantelli avec le fait que est presque sûrement fini, nous voyons que la probabilité d'un chemin d'échantillon obéissant à nos exigences est une. En d'autres termes, les termes différents vont à zéro presque sûrement. Nous avons donc par le théorème de Slutsky que pour assez grand , où . $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— ekvall
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