La géométrie différentielle a-t-elle quelque chose à voir avec les statistiques?

Je fais un master en statistique et on me conseille d'apprendre la géométrie différentielle. Je serais plus heureux d'entendre parler des applications statistiques de la géométrie différentielle car cela me motiverait. Quelqu'un connaît-il des applications de la géométrie différentielle en statistique?

Deux livres canoniques sur le sujet, avec des critiques, puis deux autres références:

• Géométrie différentielle et statistiques , MK Murray, JW Rice

  Depuis l'introduction par Rao en 1945 de la métrique d'information de Fisher sur une famille de distributions de probabilité, les statisticiens s'intéressent à l'application de la géométrie différentielle aux statistiques. Cet intérêt s'est rapidement accru au cours des deux dernières décennies grâce aux travaux d'un grand nombre de chercheurs. Jusqu'à présent, un obstacle à la diffusion de ces idées dans la communauté élargie des statisticiens est le manque d'un texte approprié introduisant l'approche libre et coordonnée moderne de la géométrie différentielle d'une manière accessible aux statisticiens. Ce livre vise à combler cette lacune. Les auteurs apportent au livre une vaste expérience de recherche en géométrie différentielle et son application aux statistiques. Le livre commence par l'étude des variétés différentielles les plus simples - les espaces affines et leur pertinence pour les familles exponentielles et passe dans la théorie générale, la métrique d'information de Fisher, la connexion Amari et les asymptotiques. Il culmine dans la théorie des faisceaux vectoriels, des faisceaux principaux et des jets et leur application à la théorie des cordes - un sujet actuellement à la pointe de la recherche en statistique et en géométrie différentielle.

• Méthodes de géométrie de l'information , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-la connexion avec la métrique joue un rôle essentiel dans cette géométrie. Ce type de dualité, issu de multiples distributions de probabilités, est omniprésent, apparaissant dans une variété de problèmes qui pourraient ne pas avoir de relation explicite avec la théorie des probabilités. Grâce à la dualité, il est possible d'analyser divers problèmes fondamentaux dans une perspective unifiée. La première moitié de ce livre est consacrée à une introduction complète aux fondements mathématiques de la géométrie de l'information, y compris les préliminaires de la géométrie différentielle, la géométrie des variétés ou des distributions de probabilités, et la théorie générale des connexions affines doubles. La seconde moitié du texte donne un aperçu de nombreux domaines d'applications, tels que les statistiques, les systèmes linéaires, la théorie de l'information, la mécanique quantique, l'analyse convexe, les réseaux de neurones, et la géométrie différentielle affine. Le livre peut servir de texte approprié à un cours sur des sujets pour les étudiants avancés de premier cycle et les étudiants diplômés.

• Géométrie différentielle dans l'inférence statistique , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen et CR Rao, IMS Lecture Notes Monogr. Ser. Volume 10, 1987, 240 pages.

• The Role of Differential Geometry in Statistical Theory , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox et N. Reid, International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, n ° 1 (avril 1986), pp. 83-96

La géométrie riemannienne est utilisée dans l'étude des champs aléatoires (une généralisation des processus stochastiques), où le processus n'a pas à être stationnaire. La référence que j'étudie est donnée ci-dessous avec deux critiques. Il existe des applications en océanographie, en astrophysique et en imagerie cérébrale.

Champs aléatoires et géométrie , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Commentaires:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$sont des variétés stratifiées riemanniennes, et leur approche est de nature géométrique. Le livre est divisé en trois parties. La partie I est consacrée à la présentation des outils nécessaires des processus et des champs gaussiens. La partie II expose de manière concise les conditions préalables requises de la géométrie intégrale et différentielle. Enfin, dans la partie III, le noyau du livre, une formule pour l'attente de la fonction caractéristique d'Euler d'un ensemble d'excursions et son approximation de la distribution des maxima du champ, est précisément établi. Le livre est écrit dans un style informel, ce qui permet une lecture très agréable. Chaque chapitre commence par une présentation des sujets à traiter et les notes de bas de page, situées tout au long du texte, servent de complément indispensable et souvent de références historiques.

"Ce livre présente la théorie moderne des probabilités d'excursion et la géométrie des ensembles d'excursion pour ... des champs aléatoires définis sur des variétés. ... Le livre est compréhensible pour les étudiants ... avec une bonne formation en analyse. ... La nature interdisciplinaire de ce livre , la beauté et la profondeur de la théorie mathématique présentée en font un élément indispensable de chaque bibliothèque mathématique et une bibliothèque de tous les probabilistes intéressés par les processus gaussiens, les champs aléatoires et leurs applications statistiques. " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)

La théorie des modèles est un domaine des statistiques / mathématiques appliquées où la géométrie différentielle est utilisée de manière essentielle (avec beaucoup d' autres domaines des mathématiques!) . Vous pouvez consulter le livre d'Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 ou le texte un peu plus accessible de David Mumford (un médaillé de peloton pas moins): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568815794_WP_K = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

De la préface du dernier texte:

Le terme «théorie des motifs» a été inventé par Ulf Grenander pour distinguer son approche de l'analyse des structures à motifs dans le monde de la «reconnaissance des motifs». Dans ce livre, nous l'utilisons dans un sens assez large pour inclure les méthodes statistiques utilisées dans l'analyse tous les «signaux» générés par le monde, qu'il s'agisse d'images, de sons, de textes écrits, de chaînes d'ADN ou de protéines, de trains de pointes dans les neurones ou de séries chronologiques de prix ou de conditions météorologiques; des exemples de tous ces éléments apparaissent dans le livre de Gregander Elements of Pattern Theory [94] ou dans le travail de nos collègues, collaborateurs et étudiants sur la théorie des modèles.

Un exemple où la géométrie différentielle est utilisée est pour les modèles de faces.

En essayant de répondre à la question (dans les commentaires) de @whuber, regardez le chapitre 16 du livre de Grenander, avec le titre "anatomie computationnelle". Là, les variétés sont utilisées pour représenter diverses parties de l'anatomie humaine (comme le foyer), et les difféomorhismes utilisés pour représenter les changements de ces variétés anatomiques, permettant la comparaison, la modélisation de la croissance, la modélisation de l'action de certaines maladies. Cette idée remonte au traité monumental de D'Arcy Thompson "sur la croissance et la forme" de 1917!

Grenander poursuit en citant ce traité:

Dans une très grande partie de la morphologie, notre tâche essentielle réside dans la comparaison des formes apparentées plutôt que dans la définition précise de chacune; et la déformation d'une figure compliquée peut être un phénomène facile à comprendre, bien que la figure elle-même doive être laissée non analysée et non définie. Ce processus de comparaison, consistant à reconnaître sous une forme une permutation ou déformation définitive d'une autre, indépendamment d'une compréhension précise et adéquate du «type» ou standard de comparaison d'origine, relève de la compétence immédiate des mathématiques et trouve sa solution dans le utilisation élémentaire d'une certaine méthode du mathématicien. Cette méthode est la méthode des coordonnées, sur laquelle est basée la théorie des transformations.

L'exemple le plus connu de cette idée est quand un enfant a disparu, disons il y a trois ans, et que l'on publie une photo de son visage transformé (généralement à l'aide de splines) en ce à quoi il pourrait ressembler aujourd'hui.