Pourquoi ( est censuré)

Dans un ensemble de problèmes, j'ai prouvé ce «lemme», dont le résultat n'est pas intuitif pour moi. est une distribution normale standard dans un modèle censuré. $Z$

Formellement, et . Ensuite, Il existe donc une sorte de connexion entre la formule d'attente sur un domaine tronqué et la densité au point de troncature . Quelqu'un pourrait-il expliquer l'intuition derrière cela? $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— Heisenberg
source

Qu'il en soit ainsi est une conséquence du fait que le terme est le négatif de la dérivée du terme dans l'exposant; c'est l'un des nombreux résultats intéressants pour la norme standard, mais il n'a pas nécessairement d'intuition derrière. D'un autre côté, cela ne me surprendrait pas du tout si l'une des personnes intelligentes ici pouvait trouver une sorte d'intuition pour cela.

z

$z$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Ce que vous dites, c'est que où est le PDF de toute distribution continue

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber C'est certainement le cas, et il convient de souligner ce résultat, car il est directement lié au résultat de la question, mais en fait, dans mon commentaire, je faisais spécifiquement référence au cas où le premier de ces termes est (puisque le terme " la formule de l'attente "était en cause, je l'ai prise pour être sur , qui est spécifique à la normale.

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstate Monica

(au moins jusqu'à la constante multiplicative évidente, à propos de cette attente conditionnelle). Cependant, pour ce vaut probablement la peine d'être discuté dans une réponse.

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b -Reinstate Monica

Votre dernière modification demande une preuve (ou une explication intuitive) d'une déclaration incorrecte. La densité conditionnelle de conditionnée sur est et la valeur conditionnelle attendue est donc et non ce que vous avez dans votre titre révisé.

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

Le théorème fondamental du calcul fonctionnerait-il pour vous comme intuition?

Soit la fonction de densité d'une variable aléatoire normale standard. Ensuite, la dérivée est . Le théorème fondamental du calcul nous donne alors que où la deuxième intégrale est obtenue en remplaçant et en utilisant le fait que et le troisième en notant que . Sinon, écrivez la seconde intégrale comme l'intégrale de à $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$ plus l'intégrale de à , et notez que l'intégration d'une fonction impaire de à donne .

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— Dilip Sarwate
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